Endomorphismenring

09.12.2012, 01:42	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismenring Meine Frage: Hallo, ich komme mit dieser Aufgabe nicht so ganz klar: Sei (G,+) eine abelsche Gruppe. Für Endomorphismen f: G -> G und h: G -> G ist die punktweise Addition definiert durch $\begin{eqnarray} \forall g \in\ G: (f + h)(g) := f(g) + h(g) \end{eqnarray}$ und die Hintereinanderausführung durch $\begin{eqnarray} \forall g \in\ G: (f \circ h)(g) := f(h(g)) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die Endomorphismen von G mit der punktweisen Addition und der Hintereinanderausführung einen Ring $\begin{eqnarray} (End(G),+,\circ ) \end{eqnarray}$ bildet. Meine Ideen: Grundsätzlich weiß ich, was zu zeigen ist, doch die Ausführung macht mir zu schaffen. Ich hab jetzt erstmal nur versucht zu zeigen, dass End(G) bezüglich + eine abelsche Gruppe ist, bin mir aber sehr unsicher: 1.) Assoziativität: $\begin{eqnarray} End(G) \neq 0 \end{eqnarray}$ , denn der triviale Endomorphismus $\begin{eqnarray} \phi (g) = e_G \in\ End(G) \forall g \in\ G \end{eqnarray}$ . Für alle f,h,k aus End(G) gilt $\begin{eqnarray} \forall g \in\ G: (f + h)(g) + k(g) = f(g) + h(g) + k(g) = f(g) + (h + k)(g) \end{eqnarray}$ => End(G) ist assoziativ. 2.) Neutrales Element: $\begin{eqnarray} \forall f \in\ End(G) \end{eqnarray}$ gilt: Der triviale Endomorphismus $\begin{eqnarray} \phi(g) = e_G \end{eqnarray}$ ist neutrales Element: $\begin{eqnarray} (f + \phi)(g) = f(g) + \phi (g) = f(g) + e_G = f(g) = e_G + f(g) = \phi(g) + f(g) = (\phi + f)(g) \end{eqnarray}$ 3.)Inverses Element: $\begin{eqnarray} \forall f \in\ End(G) \end{eqnarray}$ ist -f das inverse Element, denn: $\begin{eqnarray} ( f + (-f))(g) = f(g) + (-f(g)) = f(g) - f(g) = e_G = \phi(g) = -f(g) + f(g) = (-f + f)(g) \end{eqnarray}$ 4.) Kommutativität: $\begin{eqnarray} \forall f,h \in\ End(G): (f + h)(g): f(g) + h(g) = h(g) + f(g) = (h + f)(g) \end{eqnarray}$ Meine größten Zweifel hab ich beim neutralen und inversen Element. Kann das denn so stimmen? Für den Ring fehlt natürlich noch was, ich hab jetzt erstmal hier aufgehört, um mich nicht zu verzetteln. Das Einselement müsste aber eigentlich die Identität Id sein, oder? Es wäre echt nett, wenn sich jemand meinen Beweis mal anschauen würde. Danke im Voraus.
09.12.2012, 02:20	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Da G eine abelsche Gruppe, muss der Endomorphismenring unter Addition ebenfalls eine abelsche Gruppe sein. Die Eigenschaften von G übertragen sich einfach, wegen der punktweisen Definition der Addition. Was -f ist, müsstest du wohl erst mal definieren: $\begin{eqnarray} -f: G\to G, g\mapsto (-f)(g) := f(g^{-1}) =: f(-g) = -f(g) \end{eqnarray}$ und dass aus der Endomorphismeneigensschaft von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die von $\begin{eqnarray} -f \end{eqnarray}$ folgt.
09.12.2012, 14:48	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Dass ich -f noch definieren muss, hätte ich glatt vergessen. Aber mir ist nicht klar, wie ich die Endomorphismeneigenschaft von -f zeigen soll. Habe ich das nicht oben beim inversen Element schon getan, als ich -f eingesetzt habe? (Rückfrage: Sind meine anderen Beweise soweit in Ordnung?) Gruß Mai

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