Anwendung der Kettenregel (Differenzierung der Steuereinnahmen nach dem Steuersatz auf Arbeit t)

09.12.2012, 12:14

Felipe-

Anwendung der Kettenregel (Differenzierung der Steuereinnahmen nach dem Steuersatz auf Arbeit t)

Hallo liebes Forum.

In einem Mikroökonomik Lehrbuch wird als Beispiel für Elastizität die Laffer-Kurve gebracht.
Die gestellte Frage ist: "Wie hoch muss der Steuersatz sein, damit der Laffer-Effekt wirksam wird?"

Das Modell sieht folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} \overline w \end{eqnarray*}$ sei die Nachfragekurve nach Arbeit, Wenn der Lohnsatz größer $\begin{eqnarray*} \overline w \end{eqnarray*}$ ist, ist die Nachfrage nach Arbeit = 0
Lohnsatz = $\begin{eqnarray*} \overline w \end{eqnarray*}$ --> beliebig große Nachfragemenge nach Arbeit --> Die Nachfragekurve nach Arbeit verläuft in Höhe des Lohnsatzes $\begin{eqnarray*} \overline w \end{eqnarray*}$ horizontal.
S(w) sei die Arbeitsangebotskurve (mit positiver Steigung)
t seit der Steuersatz auf "Arbeit", die Arbeiter erhalten somit lediglich $\begin{eqnarray*} w = (1-t)* \overline w \end{eqnarray*}$

Die Steuereinnahmen, T, sind somit:

$\begin{eqnarray*} T = t* \overline w*S(w) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} w = (1-t)* \overline w \end{eqnarray*}$ und S(w) das Arbeitsangebot sind.

Änderung der Steuereinnahmen aufgrund einer Änderung des Steuersatzes -> Differenzierung nach t
also: $\begin{eqnarray*} \frac{dT}{dt} = [-t*\frac{dS(w)}{dw} *\overline w + S(w)]*\overline w \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf?
Als Hinweis ist lediglich: "Beachte die Verwendung der Kettenregel und die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} dw/dt = - \overline w \end{eqnarray*}$ ist." angegeben. Letzteres ist mir klar, aber die Kettenregel finde ich leider nicht!

(Das weitere Vorgehen ist mir klar, deswegen hört es hier auf. Es geht lediglich um die Differenzierung nach t !)

Kann mir jemand helfen?
Danke im Voraus!
Philipp

09.12.2012, 12:48

Kasen75

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RE: Anwendung der Kettenregel (Differenzierung der Steuereinnahmen nach dem Steuersatz auf Arbeit t)
Hallo,

das ist die Ausgangsfunktion:

$\begin{eqnarray*} T = t* \overline w*S(w) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} w=(1-t) * \overline w \end{eqnarray*}$

wenn man die Ableitung ausmultiplliziert steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{dT}{dt} = -t*\frac{dS(w)}{dw} *\overline w *\overline w + S(w) * \overline w \end{eqnarray*}$

Der hintere Teil ist klar.

Der vordere Teil ergibt sich einmal daraus, das S(w) nach w abgeleitet wird: $\begin{eqnarray*} \frac{dS(w)}{dw} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist ist es aber so, dass w wiederum von t abhängig ist. Man kann auch schreiben w(t).

Wenn man diesen Ausdruck nach t ableitet ergibt sich: $\begin{eqnarray*} w'(t)=- \overline w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline w \end{eqnarray*}$ ist nur ein Faktor, der bestehen bleibt.

zusammen ergibt das: $\begin{eqnarray*} - \overline w * \frac{dS(w)}{dw} \overline w \end{eqnarray*}$

Die Variable t bleibt hier auch stehen, da schon der Ausdruck $\begin{eqnarray*} S(w) \end{eqnarray*}$ nach t abgeleitet wird (Produktregel).

Nachvollziebar?

Grüße.

09.12.2012, 13:08

Felipe-

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RE: Anwendung der Kettenregel (Differenzierung der Steuereinnahmen nach dem Steuersatz auf Arbeit t)
Wow. Erstmal DANKE für die schnelle Antwort! smile

Es ist auf jeden Fall einiges klarer! Ich hatte das einfache "Ausmultiplizieren" schlicht übersehen!

Jedoch ist mir nicht ganz ersichtlich, warum $\begin{eqnarray*} S(w) * \overline w \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -t*\frac{dS(w)}{dw} *\overline w * \overline w \end{eqnarray*}$ additiv verknüpft sind.
Wo ist da die Kettenregel?

Der "hintere Teil" an sich ist in der Tat klar.

Zum vorderen Teil: Wird S(w) nach dw abgeleitet, weil es nicht direkt nach t abgeleitet werden kann und w wiederum von t abhängt?

09.12.2012, 14:01

Kasen75

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Zitat:

Wird S(w) nach w abgeleitet, weil es nicht direkt nach t abgeleitet werden kann und w wiederum von t abhängt?

Genau das. Und dann wird nach der Kettenregel nochmal mit $\begin{eqnarray*} w'(t) \end{eqnarray*}$ multipliziert.

09.12.2012, 17:26

Felipe-

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Okay.

Also steckt die Kettenregel in der Ableitung von S(w) und die Produktregel (deswegen auch die Addition) in der "gesamten Funktion".

Wenn das so stimmt, dann habe ich es verstanden/nachvollzogen und ich bedanke mich ganz herzlich bei dir! smile

Viele Grüße und einen schönen restlichen zweiten Advent! Wink

09.12.2012, 17:57

Kasen75

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Genau.

Wünsche dir auch noch ein schöne Weihnachtszeit. smile

Mit freundlichen Grüßen.

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Anwendung der Kettenregel (Differenzierung der Steuereinnahmen nach dem Steuersatz auf Arbeit t)

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