Ebene mit senkrechten Geraden

09.12.2012, 12:39

cmate

Ebene mit senkrechten Geraden

Ich habe folgende Teilaufgabe:

Gegeben sind die O(0|0|0) A(2|0|8) C(-2|4|4) und D(6|8|0) als Eckpunkte eines Spats.

E ist die Ebene, in der die Eckpunkte A, C und D des Spats liegen.
Zeigen Sie, dass alle Punkte P der Ebene E, deren Ortsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{OP} \end{eqnarray*}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ sind, auf einer Geraden liegen, und ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden.

Ich hab zunächst die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AD} \end{eqnarray*}$ berrechnet und damit die Ebenengleichung für E erstellt:

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\8 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -4\\4\\-4 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 4\\8\\-8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Geradengleichung zu $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\8 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -4\\4\\-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ab hier komme ich nicht wirklich weiter. Mir ist nicht klar, wie ich da dran gehe.

09.12.2012, 13:36

riwe

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RE: Ebene mit senkrechten Geraden
bilde 2x das (geeignete) kreuzprodukt und stelle ein t als parameter davor Augenzwinkern

09.12.2012, 13:43

Stefan_TM

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RE: Ebene mit senkrechten Geraden
Hallo cmate,

dir Richtungsvektor von AC ist (-4|4|-4) bzw. (-1|1|-1)
Die Rictungsvektor der Gerade senkrecht zu AC soll ortogonal zu AC sein, d.h.
der Skalarprodukt von den zwei Richtungsvektoren muss 0 sein:
-1*a+ 1*0+-1*(-a) =0 d.h. die Richtungsvektor der Gerade senkrecht zu AC
soll der Form (a|0|-a) bzw. (1|0|-1) sein

@riwe: The stage is yours!

09.12.2012, 14:12

riwe

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RE: Ebene mit senkrechten Geraden

Zitat:

Original von Stefan_TM
Hallo cmate,

dir Richtungsvektor von AC ist (-4|4|-4) bzw. (-1|1|-1)
Die Rictungsvektor der Gerade senkrecht zu AC soll ortogonal zu AC sein, d.h.
der Skalarprodukt von den zwei Richtungsvektoren muss 0 sein:
-1*a+ 1*0+-1*(-a) =0 d.h. die Richtungsvektor der Gerade senkrecht zu AC
soll der Form (a|0|-a) bzw. (1|0|-1) sein

@riwe: The stage is yours!

das dürfte nicht der richtige richtungsvektor sein böse

09.12.2012, 14:47

cmate

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Ich hoffe mal, ich habe das jetzt richtig verstanden. Mit dem Kreuzprodukt haben wir noch nicht gearbeitet - hab mir das eben auf einer entsprechenden Site durchgelesen wie man das Kreuzprodukt erstellt.

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\8 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -4\\4\\-4 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 4\\8\\-8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich baue also zunächst das Kreuzprodukt der beiden Vektoren aus der Ebenengleichung für E:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4\\4\\-4 \end{pmatrix}X\begin{pmatrix} 4\\8\\-8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4*(-8)-(-4)*8\\-4*4-(-4)*(-8)\\-4*8-4*4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-48\\-48 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann baue ich ein weiteres Kreuzprodukt aus dem eben erstellten Vektor und dem von $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\-48\\-48 \end{pmatrix}X\begin{pmatrix} -4\\4\\-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -48*(-4)-(-48)+4\\-48*(-4)-0*(-4)\\0*4-(-48)*(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 384\\192\\-192 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also sollte dann:

$\begin{eqnarray*} t*\begin{pmatrix} 384\\192\\-192 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die gesuchte Gerade sein?

Edit:

Das sollte man dann auch als:

$\begin{eqnarray*} t*\begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

schreiben können.

09.12.2012, 15:11

riwe

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wenn du jetzt noch

$\begin{eqnarray*} \vec{p}=.... \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec{x}=... \end{eqnarray*}$

davor hinmalst, paßt es Freude

09.12.2012, 15:20

cmate

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OK:

$\begin{eqnarray*} \vec{p}=t*\begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Gerade verläuft dann parallel zu der von C nach D also

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2\\4\\4 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 8\\4\\-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

, welche in der Ebene E liegt. Ich hatte angenommen die zu ermittelnde Gerade hätte ebenfalls in der Ebene liegen müssen - das ist aber nicht der Fall?

Aufjedenfall, vielen Dank für Deine Hilfe! smile

09.12.2012, 15:36

cmate

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Gut, hab mir das nochmal graphisch in Geogebra 5 angeguckt und verstehe das jetzt.

Edit:
oder auch nicht. Die Gerade liegt auch nicht auf AC sonder geht von O(0,0,0) ab, parallel zu zur Geraden CD.

09.12.2012, 16:59

riwe

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Zitat:

Original von cmate
Gut, hab mir das nochmal graphisch in Geogebra 5 angeguckt und verstehe das jetzt.

Edit:
oder auch nicht. Die Gerade liegt auch nicht auf AC sonder geht von O(0,0,0) ab, parallel zu zur Geraden CD.

ich denke, du hast recht.
ich habe diese aufgabe gründlich und total falsch verstanden.
ich hoffe so paßt es besser:

die gleichung der ebene heißt:

$\begin{eqnarray*} y+z-8=0 \end{eqnarray*}$

d.h alle punkte P in E haben die koordinaten $\begin{eqnarray*} P(p/q/8-q) \end{eqnarray*}$

nun soll gelten $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP} \perp\overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} p \\ q \\ 8-q \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

woraus für alle punkte p gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 2q-8\\ q \\ 8-q \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was man nur mehr auseinanderbröseln muß und man hat die gesuchte gerade

ich hoffe, das ist nicht wieder mist unglücklich

09.12.2012, 20:53

cmate

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Vielen Dank, das Du nochmal drauf geschaut hast.

Zitat:

die gleichung der ebene heißt:

$\begin{eqnarray*} y+z-8=0 \end{eqnarray*}$

d.h alle punkte P in E haben die koordinaten $\begin{eqnarray*} P(p/q/8-q) \end{eqnarray*}$

nun soll gelten $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP} \perp\overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe diesen Part nicht, insbesondere ist mir die Ebenengleichung unklar.
Wir hatten diese Form bisher noch nicht in der Schule - ist das eine Koordinatengleichung?

09.12.2012, 21:07

riwe

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ja das ist die koordinatenform deiner ebene.

wie du weiter oben selbst berechnet hast, ist ein normalenvektor der ebene ACD:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} 0 \\ -48 \\ -48 \end{pmatrix} \to \vec{n} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit kommt man über die normal(en)vektorform zur koordinatenform von E:

$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} =0\to y+z=8 \end{eqnarray*}$

wie man durch einsetzen verifizieren kann.

ok verwirrt

edit: das findest du hier auch leicht aus

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\8 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -4\\4\\-4 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 4\\8\\-8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(nach kosmetik)

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\8 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn du zeile 2 und zeile 3 (also y und z addierst)

11.12.2012, 11:10

cmate

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Hallo nochmal,

Ich hab nun eine Lösung:

Ausgehend von der Ebenengleichung:

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\8 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -4\\4\\-4 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 4\\8\\-8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

werden Punkte in der Ebene E gesucht:

$\begin{eqnarray*} \vec{P}=\begin{pmatrix} 2-4r+4s\\0+4r+8s\\8-4r-8s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

deren Ortsvektoren sollen senkrecht also orthogonal zu $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ sein:

$\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix} -4\\4\\-4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2-4r+4s\\0+4r+8s\\8-4r-8s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-4(2-4r+4s)+4(0+4r+8s)-4(8-4r-8s) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{6}-r=s \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis setze ich in die Gleichung zur Ebene ein um eine Geradengleichung zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2-4r+4(\frac{5}{6}-r)\\0+4r+8(\frac{5}{6}-r)\\8-4r-8(\frac{5}{6}-r) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} \frac{16}{3}-8r\\\frac{20}{3}-4r\\\frac{4}{3}+4r) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ergebnis ist dann:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} \frac{16}{3}\\\frac{20}{3}\\\frac{4}{3} \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -8\\-4\\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das stimmt dann so.

Am nächsten Wochenende hab ich etwas mehr Zeit und werde mich dann mit der Koordinatenform auseinandersetzen - vielen Dank nochmal für die Erklärung dazu.

11.12.2012, 13:52

riwe

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wenn du meine obige form aufteilst, steht da:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}+q\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was für $\begin{eqnarray*} q=\frac{20}{3} \end{eqnarray*}$ deinen aufpunkt ergibt,

daher Freude

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