Ableitung wieder Testfunktion?

09.12.2012, 13:23	testfunction	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung wieder Testfunktion? Meine Frage: Hallo! Ist die Ableitung einer Testfunktion (damit meine ich die Funktionen, die unendlich oft differenzierbar sind und einen kompakten Träger haben) auch wieder eine Testfunktion? Meine Ideen: Beispiel: Testfunktion mit kompaktem Träger $\begin{eqnarray} [-b,b] \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \Phi_b(x)=\begin{cases}\exp\left(\frac{b^2}{x^2-b^2}\right), & \lvert x\rvert <b\\0, & \lvert x\rvert\geq b\end{cases} \end{eqnarray}$ Ist die Ableitung dieser Testfunktion auch Testfunktion? Die Ableitung lautet doch: $\begin{eqnarray} \Phi'_b(x)=\begin{cases}\left(\frac{1}{(x+b)^2}-\frac{1}{(x-b)^2}\right)\exp\left(\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x+b}\right), & \lvert x\rvert <b\\0, & \lvert x\rvert\geq b\end{cases} \end{eqnarray}$ Wenn ich mir das darstellen lasse, so lautet die Menge derjenigen x, für die diese Ableitung nicht 0 ist $\begin{eqnarray} <br /> \left\{x : \Phi'_b(x)\neq 0\right\}=(-b,0)\cup (0,b) \end{eqnarray}$ . Wenn ich von dieser Menge den Abschluss bilde, so habe ich doch $\begin{eqnarray} [-2,2] \end{eqnarray}$ , oder? Und das ist kompakt. Zudem ist $\begin{eqnarray} \Phi'_b(x) \end{eqnarray}$ unendlich oft differenzierbar. Sodass ich für dieses Beispiel zu dem Resultat komme, dass $\begin{eqnarray} \Phi'_b \end{eqnarray}$ also tatsächlich auch wieder Testfunktion ist. Falls dies so stimmt: Kann man das verallgemeinern, d.h.: Gilt das wirklich für jede Testfunktion?
09.12.2012, 13:32	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung wieder Testfunktion? Ja, es gilt wirklich für jede. Wenn eine Funktion unendlich oft differenzierbar ist, gilt das natürlich auch für die Ableitung. Dort, wo eine Funktion konstant Null ist, ist die Ableitung auch Null, also $\begin{eqnarray} \operatorname{supp}f'\subseteq\operatorname{supp}f \end{eqnarray}$ ; der Träger der Ableitung ist also auch kompakt.
09.12.2012, 13:46	testfunction	Auf diesen Beitrag antworten »
danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »