Martingal bei Irrfahrt

09.12.2012, 15:51	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
Martingal bei Irrfahrt Hallo Leute, Xn ist eine Irrfahrt, mit Erfolgsparameter $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ( D.h. es ist $\begin{eqnarray} X_n = \sum_{k=1}^{n} Y_k \end{eqnarray}$ wobei Yk iid(unabhängig und identisch verteilt) und $\begin{eqnarray} \mathbb{E}[Y_k] = 0, \mathbb{P}[Y_k = 1] = 1- \mathbb{P}[y = -1] = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ) Weiter ist der Startpunkt bei 0, d.h. $\begin{eqnarray} X_0 = 0 \end{eqnarray}$ und unsere Filtration sind die Mengensysteme $\begin{eqnarray} A_n = \sigma ( X_0, X_1, \dots X_n ) \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist: Jedes andere Martingal Mn bzgl An hat die Form $\begin{eqnarray} M_n = \sum_{k=1}^{n}V_k(X_k - X_{k-1}) \end{eqnarray}$ wobei V_n ein geignetes Spielsystem ist. Als Hinweis hatten wir gegeben: Wenn $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ der Raum der Folgen $\begin{eqnarray} ( \omega_1, \omega_2, \dots ) , \omega_i \in \{1.-1\} \end{eqnarray}$ so ist $\begin{eqnarray} M_n(\omega ) = f_n(\omega_1. \dots, \omega_n ) \end{eqnarray}$ für eine Funktion fn. Folgene Überlegungen habe ich mir gemacht: Erstens: Wenn Mn ein Martingal ist, so gelten ja die Martingaleigenschaften:, Mn ist integrierbar, Mn ist An messbar, und Mn ist innovativ ( $\begin{eqnarray} \mathbb{E}[M_{n+1} \| A_n ] = M_n \end{eqnarray}$ ) Mit dem Optionalen Stoppsatz folg insbesondere für m kleiner n, dass gilt $\begin{eqnarray} \mathbb{E}[M_{n} \| A_m ] = M_m \end{eqnarray}$ . Ob mir das irgendwie hilft, weiß ich nicht. Zweitens: Durch den Hinweis gibt es irgendwie so ein fn = Mn, Und weiter ist Mn ja An messbar, das heißt insbesondere, dass es eine messbare Funktion g gibt, sodass fn = g(X0,...Xn). Jemand eine Idee? Wir haben (Sub)(Super)Martingale in der Vorlesung kennengelernt, und auch die Stoppsätze dazu...
09.12.2012, 15:53	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja unser Übungsleiter meinte zu uns, die Aufgabe ist eigentlich sehr einfach, wenn man den Hinweis hat. Den können wir ohne Beweis nutzen... Ich komm irgendwie nicht dahinter, ich hab das Gefühl ich weiß eigentlich schon alles, was ich brauche... Sorry für den Doppelpost so schnell...
10.12.2012, 14:01	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
keiner eine Idee?

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