Teilung durch einen einzigen, geraden Schnitt einer beliebigen, stetigen Menge |
| 09.12.2012, 17:09 | IzeCube | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Teilung durch einen einzigen, geraden Schnitt einer beliebigen, stetigen Menge
Ich hab hier folgende Aufgabe vor mir liegen: Stellt euch vor, ihr habt ein Kreisrundes Brötchen ungleichmäßig mit Nutella bestrichen und wollt es mit einem Freund teilen. Jeder soll dabei natürlich gleichviel bekommen, das heißt sowohl die gleiche Menge Brötchen als auch die gleiche Menge Nutella darauf. Damit jedoch das Brötchen nach der Teilung noch einigermaßen essbar ist, soll die Teilung durch einen einzigen, geraden Schnitt mit einemMesser erfolgen. Prüfe nach, ob diese Teilung für jede beliebige (aber immernoch stetige) Verteilung von Nutella auf dem Brötchen möglich ist. Ich hab irgendwie gar keine Ahnung was ich damit machen soll. Der einzige Gedanke der mir irgendwie gekommen ist, ist der "Goldene Schnitt". Weil da doch das Vergältnis von AB:AT = AT:TB. Aber wie ich damit ansetzen sollte weiß ich auch nicht... Gehen meine Überlegungen überhaupt in die richtige Richtung? Und wenn nein, könnte mir jemand bei nem Anfang weiterhelfen? 
Vielen Dank im voraus!!! |
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| 10.12.2012, 02:44 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine derartige, gerechte Teilung ist immer möglich. Dies lässt sich mit dem Zwischenwertsatz begründen. Man betrachte die Menge aller Schnitte, die das Brötchen halbieren und bilde die Funktion "%-Anteil Nutella auf der linken Seite", mit dem Winkel relativ zu einer gedachten, festen Linie, wobei o.B.d.A. eine Seite als die linke gewählt werden kann. Liegt bei Schnittwinkel eine 50-50-Teilung der Nutella-Menge vor, dann ist dies der gesuchte Schnitt. Ist dies jedoch nicht der Fall, dann lässt man den Schnittwinkel den gesamten Bereich durchlaufen. Bei kommt der Funktionswert wieder beim Ausgangswert an. Der Wertebereich kann sich nicht für alle nur über oder nur unter der 50%-Linie befinden, da immer gilt: . Die Funktion muss also entweder für alle den Wert 50% haben oder für einen Winkel einen Wert unter und für einen anderen einen Wert über 50%. Da die Funktion stetig ist, muss es gemäß dem Zwischenwertsatz ein geben, für das gilt. |
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| 10.12.2012, 12:09 | IzeCube | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versteh leider nur Bahnhof. Aber rechnest du damit nicht nur die Hälfte des Nutellas aus? ich hatte das so verstanden, dass man die Hälfte des brotchens und des Nutellas finden muss? Vielen Dank für die Hilfe im Voraus! |
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| 10.12.2012, 12:44 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, ich betrachte die Menge aller Schnitte, die das Brötchen halbieren. Es ist also von vorneherein klar, dass beide ein halbes Brötchen bekommen. |
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| 10.12.2012, 12:47 | IzeCube | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir ist leider nicht klar, wo genau ich Alpha einsetzen soll? Und warum gilt fN(Alpha + 180 Grad) + fN(Alpha)=100% Ich dachte es geht hier um die Betrachtun der linken Seite? Die alleine kann doch nicht 100% haben? und wie komme ich überhaupt zu dieser Aussage? Kann mir da jemand helfen? :-( |
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| 10.12.2012, 12:50 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn du die Schnittkante um 180° weitergedreht hast, dann liegt die "linke" Seite des Messers (und damit die "linke" Seite des Brötchens) da, wo vorher die "rechte" gelegen hat. Deswegen gilt |
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| 10.12.2012, 12:55 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stelle dir einen Kreis im vor mit Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems. Dann eine Ursprungsgerade im Winkel relativ zur x-Achse. Diese Gerade ist die Schnittlinie. kannst du jetzt variieren von bis , d.h. die Schnittgerade macht eine vollständige -Drehung. |
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| 10.12.2012, 12:57 | IzeCube | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wofür genau ist diese Aussage wichtig? Wie hilft mir das bei meiner Berechnung?
sorry wenn ich so auf dem Schlauch stehe! |
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| 10.12.2012, 12:58 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
welche Aussage? |
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| 10.12.2012, 13:02 | IzeCube | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die mit den 100% Ich verstehe jetzt (dank der Zeichnung) besser, dass Alpha das Brötchen bzw das nutella teilt, aber wir haben ja keinen Wert für das nutella... Soll das jetzt nur theoretidch gemacht werden? |
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| 10.12.2012, 13:13 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Gesamtmenge des Nutellas (=100%) setzt sich aus der Menge auf der linken und der auf der rechten Seite des Messers zusammen. Man braucht diese Aussage für die Lösung mit Hilfe des Zwischenwertsatzes. Die Menge des Nutellas auf der linken Seite des Messers wird durch die Funktion angegeben. Dass diese Funktion stetig in ist, sollte klar sein. Ist dir der Inhalt des Zwischenwertsatzes bekannt? Wenn man über einem Intervall eine stetige Funktion definiert hat, dann gibt es für jeden Wert (bzw. ) ein , für das die Funktion diesen Wert annimmt. Wenn also beispielsweise und , dann gibt es ein , für das gilt. |
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| 10.12.2012, 13:28 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann statt auch eine Funktion betrachten. Man kann zeigen, dass diese Funktion im Intervall sowohl positive wie negative Werte annehmen muss oder konstant 0 ist. Auf alle Fälle wird irgendwo auf diesem Intervall der Wert angenommen. Dies würde dann der 50-50-Aufteilung des Nutellas entsprechen. |
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| 10.12.2012, 13:32 | IzeCube | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Liege ich richtig in der Annahme, dass ich Alpha irgendwo einsetzen muss und wenn dabei als Lösung 50% rauskommt, handelt es sich um das richtige Alpha? wenn dem so ist, wo muss ich dann dieses Alpha einsetzen?
oder hab ich da irgendwas total falsch verstanden?
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| 10.12.2012, 13:43 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, es geht hier um eine Frage der Existenz eines möglichen Schnittes. Du musst nicht angeben, wo der Schnitt liegt, nur dass es einen gibt. |
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