Untergruppenkriterium

09.12.2012, 19:08	Gekko	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppenkriterium Meine Frage: Hey! Ich bräuchte einen kleinen Tipp zu dieser Aufgabe: Sei R ein kommutativer Ring und $\begin{eqnarray} H := \left\{ A \in\ GL_p(R) \| A \cdot A^T = I_p \right\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe von GL_p(R) ist. Meine Ideen: Ich hab nicht das kurze Untergruppenkriterium genommen (ich bin immer unsicher, ob ich das richtig verwende), sondern hab gezeigt: 1) $\begin{eqnarray} H \neq 0 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \forall A_1, A_2 \in\ H \Rightarrow (A_1 \cdot A_2) \in\ H \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} \forall A \in\ H \Rightarrow A^{-1} \in\ H \end{eqnarray}$ 1) und 2) hat eigentlich auch gut geklappt, nur beim Inversen macht meine Rechnung irgenwie keinen Sinn: 1. Versuch: $\begin{eqnarray} (A^{-1}) \cdot (A^{-1})^T = A^{-1} \cdot (A^T)^{-1} = (A^T \cdot A)^{-1} \end{eqnarray}$ An der Stelle hänge ich dann. Ich hab's dann noch so probiert: 2.Versuch: $\begin{eqnarray} A \cdot A^T = I_p \Leftrightarrow A^{-1} \cdot (A^T)^{-1} = I_p^{-1} \Leftrightarrow A^{-1} \cdot (A^{-1})^T = I_p<br /> \Rightarrow A^{-1} \in\ A \end{eqnarray}$ Das waren meine beiden besten Ansätze, meine anderen ergeben noch weniger Sinn. Wäre echt toll, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben würde, wo mein Denkfehler ist. Viele Grüße Gekko
09.12.2012, 19:51	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppenkriterium $\begin{eqnarray} A \cdot A^T = I \Rightarrow A^T=A^{-1} \end{eqnarray}$
09.12.2012, 20:35	Gekko	Auf diesen Beitrag antworten »
@Igrizu: Vielen Dank für deine Antwort, ich glaub jetzt hab ich's : $\begin{eqnarray} (A^{-1}) \cdot (A^{-1})^T = A^{-1} \cdot (A^T)^{-1} = A^{-1} \cdot (A^{-1})^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_d \end{eqnarray}$ Gruß Gekko
11.12.2012, 17:53	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnerei kann man sich meines Erachtens schneken, es ist nach Definition der Gruppe $\begin{eqnarray} A^T=A^{-1} \end{eqnarray}$ und damit folgt die Existenz des Inversen. Zu zeigen ist vielleicht noch: hat $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die geforderte Eigenschaft, dann auch $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ und damit liegt $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ in der Gruppe.

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