Kompaktheit der Menge des Graphen einer stetigen Funktion

09.12.2012, 19:10	bernddasbrot797	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheit der Menge des Graphen einer stetigen Funktion Meine Frage: Hallo, Ich stehe gerade vor einem Problem bei dem ich nicht weiterkommen. Die Aufgabe lautet: Es sei $\begin{eqnarray} E \subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ kompakt. Wir betrachten Funktionen $\begin{eqnarray} f : E \mapsto \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Der Graph solch einer Funktion f sei definiert als $\begin{eqnarray} G(f) := \{ (x,f(x)) \| x \in E \} \end{eqnarray}$ . Man beweise, dass f genau dann stetig ist, wenn G(f) (als Teilmenge des R2) kompakt ist. Meine Ideen: Es ist klar, dass Äquivalenz gezeigt werden soll. Da E kompakt und f stetig ist, ist f(E) auch kompakt. Jetzt war meine Idee, dass G auch kompakt sein muss, da es aus zwei kompakten Mengen zusammengesetzt ist. Mir fällt aber kein Weg ein, wie ich das korrekt bewiesen bekomme. Und für die Rückrichtung muss dann auch noch zeigen, dass wenn eine kompakte Menge aus zwei Mengen zusammengesetzt ist, diese ebenfalls kompakt sein müssen. Danke schonmal im Voraus
09.12.2012, 20:05	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige Folgenkompaktheit und für die Umkehrung Folgenstetigkeit, das sollte der einfachste Weg sein.
09.12.2012, 20:35	bernddasbrot797	Auf diesen Beitrag antworten »
Haben leider noch nicht mit Folgen angefangen :\
09.12.2012, 20:45	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann verrate doch mal, wie ihr Kompaktheit und Stetigkeit definiert habt.
09.12.2012, 20:53	bernddasbrot797	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Stetigkeit über das Epsilon-Dleta Kriterium und die Kompaktheit über: Zu jeder in $\begin{eqnarray} M \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ offenen Überdeckung von M existiert eine endliche Teilüberdeckung.
09.12.2012, 21:04	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \varphi: E\to \mathbb{R}^2;\ x\mapsto (x, f(x)) \end{eqnarray}$ stetig und stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Zur Umkehrung betrachte $\begin{eqnarray} \psi: G(f)\to E;\ (x,f(x))\mapsto x \end{eqnarray}$ , diese Abbildung ist bijektiv und stetig, da G(f) kompakt und E hausdorff, also ein Homöomorphismus, nun beachte dass Kompositionen stetiger Abbildungen stetig sind.
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09.12.2012, 21:38	bernddasbrot797	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man bei Rückrichtung die Begründung für die Bijektivität und Stetigkeit auch ohne den Begriff des Homöomorphismus ausdrücken, das haben wir in der Vorlesung noch nicht besprochen :P

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