Ableitung nach der Kettenregel

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noob6 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung nach der Kettenregel
Ich hoffe mich kann jemand hier bei der Anwendung der Kettenregel begleiten.

Bei dem Beispiel ist die ja einfach :

f (x) = 4*e^2x
f´(x) = 8e^2x
f´´(x) = 16e^2x

aber hierbei weiß ich nicht wo ich anfangen soll :

f(x) = x*e^-2x

ich habe :

f´(x) = e^-2x*(-2)
= -2e^-2x

aber ich denke das ist falsch.

Bitte um Hilfe.


Vielen Dank im Voraus Augenzwinkern
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Beim ersten brauchts rein die Kettenregel.
Beim zweiten Beispiel brauchts aber außerdem die Produktregel Augenzwinkern .
 
 
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung nach der Kettenregel
Sagt dir das Stichwort: "innere mal äußere Ableitung" was?
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, äußere und innere Ableitung sagt mir was. Ich kann sie aber nicht so genau erkennen.

Bei der zweiten Funktion denke ich das die äußere Funktion "x*e^-2x" ist und die innere "-2x" ist. Aber ich glaube da fehlt was.

Und zur Produktregel, ich dachte man muss entweder die Produktregel oder die Kettenregel nehmen.... :-/
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Mathemathemathe wollte wohl nur erklären, wie die Kettenregel funktioniert verwirrt .
Die kannst du beim zweiten Beispiel aber nicht direkt verwenden.

Die Produktregel ist vorerst gefragt Augenzwinkern .

Zu deinem Edit: Nein, kann auch gern beides kommen. Wie hier der Fall^^.
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dann versuch ichs nochmal.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Tu das. Wir können ja dann vergleichen Augenzwinkern .
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

f (x) = 4*e^2x

Ist das hier erstmal richtig ? :

u = 4*e^2x
u´ = 4*e^2

v = 2x
v´= 2


Hat n bisschen länger gedauert musste mir erstmal ein Video zur Produktregel angucken, als ich das Thema hier geöffnet habe dachte ich ja noch nur eine der beiden Regeln in einer Funktion anwenden zu müssen.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Aufgabe hattest du doch schon richtig gelöst Augenzwinkern .
Die Produktregel brauchts da nicht. Die wäre von dir auch falsch angewandt.

Die Produktregel verwendest du dann, wenn du zwei Faktoren hast, die jeweils von x abhängen.
Aufgabe 1: Du hast 4*e^(2x) -> die 4 ist unabhängig von x, also konstant und es bleibt nur ein
Faktor der abhängig ist von x, nämlich die e-Funktion -> Produktregel nicht nötig.

Aufgabe 2: Du hast x*e^(-2x), also zwei Faktoren und beide sind von x abhängig.
Da brauchts nun die Produktregel. Um dann v' zu bestimmen brauchen wir außerdem die Kettenregel.
Du brauchst also beide Regeln Augenzwinkern .
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) = x*e^-2x

u = x*e^-2x
u´= 1*e^(-2)

"v" ist ja die äußere Funktion, ist das in dem Fall nicht nur der Exponent ?
also :

v = -2x
v´= (-2) dafür muss ich dann die Kettenregel anwenden ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du bringst da gerade die beiden Regeln etwas durcheinander.

Wir haben x*e^(-2x)=u(x)*v(x)

Wenn wir das ableiten, gilt die Produktregel (u(x)*v(x))'=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)

Also:
u(x)=x
u'(x)=?

v(x)=e^(-2x)
v'(x)=? (hier brauchts die Kettenregel)


Hilft dir das weiter? smile
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

x*e^(-2x)=u(x)*v(x)

Also:
u(x)= x
u'(x)= 1

v(x)=e^(-2x)
v'(x): -2e^(-2x)

f´(x) = e^(-2x)*(-2)
f´(x) = -2e^(-2x)


f´(x) = x*(-2e^(-2x))+1*(e^(-2x))
= x*(-1e^(-4x))


Gibt es da was richtiges bei ? Big Laugh
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die rote Zeile verstehe ich nicht?
Oder war das ein Hilfsschritt von dir, um auf v'(x) zu kommen?

Die Ableitung selbst aber passt Freude .
f´(x) = x*(-2e^(-2x))+1*(e^(-2x))

Die "Vereinfachung" bzw. das Zusammenfassen passt allerdings nicht.
Viel vereinfachen lässt sich hier nicht.

f´(x) = -2x*e^(-2x)+e^(-2x)

Das ist alles was du machen kannst. Auf Wunsch kannst du noch die e-Funktion ausklammern.
Mehr geht aber nicht. Augenzwinkern
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Die rote Zeile verstehe ich nicht?
Oder war das ein Hilfsschritt von dir, um auf v'(x) zu kommen?


jap.


Dachte mir schon das meine Vereinfachung daneben gegangen ist Big Laugh

Wie hast du das denn so vereinfacht ? Ich blicke da irgendwie nicht durch smile Viele Klammern und so viel im Exponenten, kann auch sein das es die nicht ganz durchsichtige Formatierung hier ist.

Die 2. Ableitung brauch dann auch wieder beide Regeln ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

f´(x) = x*(-2e^(-2x))+1*(e^(-2x))
f´(x) = -2x*e^(-2x)+e^(-2x)

-> Die erste Klammer brauchts nicht unbedingt (abgesehen von dem Minuszeichen). Hab also
einfach das x "reingezogen" und die Klammer entfernt.
Beim zweiten Summanden habe ich einfach die 1 und die Klammer entfernt. Also nicht sonderlich
viel gemacht^^.

Für die zweite Ableitung gehe vor wie gerade eben. Beachte, dass du jeden Summanden
einzeln ableiten kannst Augenzwinkern .
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

f´(x) = -2x*e^(-2x)+e^(-2x)

u = -2x

u´= -2

v = e^(-2x)+e^(-2x)

v´= e^(-2) + e^(-2)
= -2e^(-2) + -2e^(-2)
= -4e^(-2)

bis dahin richtig ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zum einen hatte ich dir doch den Tipp gegeben, die Summanden einzeln zu betrachten Augenzwinkern ,
zum anderen hast du bei v' die Kettenregel vergessen.



f´(x) = -2x*e^(-2x)+e^(-2x)

Anschaun tun wir uns für die Produktregel nur den ersten Summanden:

u = -2x
u´= -2

v = e^(-2x
v'=?


So, du wieder Augenzwinkern
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

f´(x) = -2x*e^(-2x)+e^(-2x)

u = -2x
u´= -2

v = e^(-2x) ( < = Wieso ist das bei dir nur die Hälfte ? )
v´= -2e^(-2x)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, du vermisst den zweiten Summanden?

Dir sollte die Summenregel bekannt sein:
f(x)=g(x)+h(x)
f'(x)=g'(x)+h'(x)

D.h. wie können die Summanden einzeln ableiten und dann wieder zusammensetzen.
Das ist was wir auch gerade machen.

Deine Ableitungen sind nun richtig. Jetzt noch zusammensetzen, den zweiten Summanden noch
ableiten und dazusetzen und wir haben die gesamte Ableitung Augenzwinkern .


klar?
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt noch ne Regel ^^
immerhin ist es die einfachste von den drein smile


f´(x) = -2x*e^(-2x)+e^(-2x)

u = -2x
u´= -2

v = e^(-2x)
v´= -2e^(-2x)

+


u = -2x
u´= -2

v = e^(-2x)
v´= -2e^(-2x)


in diesem Fall beides das gleiche oder ?

(u(x)*v(x))'=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)

f´´(x) = -4x*(-2e^(-2x)) + (-2*e^(-2x))
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Teil passt:
(Habs mal in g(x) unbenannt, da ja der letzte Summand fehlt)

Zitat:
g´(x) = -2x*e^(-2x)

u = -2x
u´= -2

v = e^(-2x)
v´= -2e^(-2x)




Hier passts aber nicht mehr:

Zitat:
+


u = -2x
u´= -2

v = e^(-2x)
v´= -2e^(-2x)


Wir haben doch nur noch die Kettenregel anzuwenden. Wir haben doch kein Produkt von
zwei Faktoren, die jeweils von x abhängen Augenzwinkern .

Also für den g(x)-Teil haben wir:
g''(x)=-2x*(-2e^(-2x))+(-2)*e^(-2x)=4x*e^(-2x)-e^(-2x)

Und dann kommt eben noch die Ableitung des letzten Summanden hinzu:
f''(x)=4x*e^(-2x)-2e^(-2x)-2*e^(-2x)=4x*e^(-2x)-4*e^(-2x)

Alles klar? smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, ich bin nun im Bett. Sollte noch was offen sein, schau ich morgen, oder jmd anderes schaut rein smile .

Wink
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich wollte mich auch gerade verabschieden- Heute Abend blick ich da glaube ich nicht mehr durch....


Mich irritiert die ganze Zeit, dass ich in der Schule die Lösung so abgeschrieben habe:

f(x) = x*e^-2x

f´(x) = 1*e^-2x + x*(-2e^-2x)
= (-2x+1)e

f´´(x) = -2e^-2x + (-2+1)(-2e^-2)
= (4x -4)e^-2x


Danke bis hierhin.

bis Morgen Augenzwinkern
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Beim f' fehlt die Potenz der e-Funktion, sonst ist das aber genau das Gleiche smile .

f´(x)=(-2x+1)e^(-2x)=-2x*e^(-2x)+e^(-2x)=(-2x+1)e^(-2x)

f''(x)=(4x -4)e^-2x=4x*e^(-2x)-4*e^(-2x)=(4x-4)e^(-2x)

Ich habe gerade mal rot markiert, was du in der Schule gemacht hast und orange, was von uns kommt.




Wir haben unsere Ergebnisse immer als Summe stehen gelassen. Ihr habt (wie ich es jetzt oben auch
gemacht habe) immer die e-Funktion ausgeklammert und hattet dann ein Produkt stehen.
Ich dachte es wäre als Summe einfacher für dich, das abzuleiten, da es immer das gleiche ist Augenzwinkern .
So wie ihrs in der Schule gemacht habt, ist natürlich auch schön/einfach abzuleiten. Je nachdem
was einem mehr liegt.
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung das ich mich erst jetzt wieder melde, war gestern nicht Zuhause.

ja das stimmt den Exponenten "-2x" habe ich bei der 1. Ableitung vergessen.

Ich versteh jetzt allerdings nicht warum ich das anders Ableiten soll obwohl der 2. Teil genauso aussieht => v = e^(-2x) + v = e^(-2x) warum ist dann die Ableitung nicht auch gleich ?

Zitat:
Hier passts aber nicht mehr:

Zitat: + u = -2x u´= -2 v = e^(-2x) v´= -2e^(-2x)



Kannst du mir auch noch zeigen wie man das dann so vereinfacht das so eine Lösung wie ich sie aufgeschrieben habe rauskommt. Sonst weiß ich nicht wie ich Extremwerte oder Hochpunkte herausfinden soll, ich brauch da immer ne Klammer.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich versteh jetzt allerdings nicht warum ich das anders Ableiten soll obwohl der 2. Teil
genauso aussieht => v = e^(-2x) + v = e^(-2x) warum ist dann die Ableitung nicht auch gleich ?


Ich bin nicht ganz sicher, ob ich weiß was du meinst.

Du meinst hier bei unserer Ableitung
f'(x)=-2x*e^(-2x)+e^(-2x)
warum wir bei der zweiten Ableitung das zweite e^(-2x) anders behandeln als das erste?


Dann lautet meine Antwort: Beachte das Pluszeichen dazwischen. Du kannst den linken Summanden
und den rechten Summanden getrennt voneinander beachten. Du siehst ja dann auch, dass die
beiden Summanden unterschiedlich zueinander sind. Beim zweiten Summanden haben wir nur die
e-Funktion und können diese einfach mit der Kettenregel ableiten. Anders ist das beim linken
Summanden. Der linke Summand besteht aus zwei Faktoren, wobei beide Faktoren von x abhängen.
Wir müssen also die Produktregel verwenden, um diesen Summanden ableiten zu könnnen.

Klar? Augenzwinkern




Für die "Klammerschreibweise": Klammere einfach gemeinsame Faktoren aus -> Distributivgesetz.
Das ist bei Ableitungen mit der e-Funktion besonders einfach. Diese selbst ändert sich ja bei
den Ableitungen nicht und kannst du meist als gemeinsamen Faktor ausklammern smile .
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

f´(x) = -2x*e^(-2x)+e^(-2x)


-2x*e^(-2x):

u = -2x
u´= -2

v = e^(-2x)
v´= -2e^(-2x)

+

e^(-2x):


u = 1
u´= /

v = e^(-2x)
v´= e^(-2x)




(u(x)*v(x))'=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)

f´´(x) = -2x*e^(-2x)+ (-2e^(-2x))+1*e^(-2x)+e^(-2x)


so ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, du wendest doch die Produktregel beim zweiten Summanden an.
Das geht natürlich auch. Allerdings ist u' nicht einfach /, sondern 0!^^

Dein zweites v' ist falsch.


Wende das nochmals an. Setze also nochmals sauber zusammen
(u(x)*v(x))'=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)

Das passt bei dir nämlich nicht. Da hast du ein wenig die u und u' etc vertauscht Augenzwinkern .
f´´(x) = -2x*e^(-2x)+ (-2e^(-2x))+1*e^(-2x)+e^(-2x)
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe gerade nicht wieso die 2. v´ falsch ist. Bin genauso vorgegangen wie bei der 1. v´.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde da auch das gleiche stehen (sollte es auch, tut es aber nicht).
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

beim 1. Versuch stand doch das gleiche da ?! smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm? Wie meinst du das?
Also ein einfacher Schreibfehler scheint es mir nicht zu sein, immerhin hast du
es auch falsch zusammengesetzt Augenzwinkern .

Also das war fehlerhaft. Hier nochmals richtig aufgeschrieben:


f´(x) = -2x*e^(-2x)+e^(-2x)


-2x*e^(-2x):

u = -2x
u´= -2

v = e^(-2x)
v´= -2e^(-2x)

+

e^(-2x):


u = 1
u´= 0

v = e^(-2x)
v´= -2e^(-2x)


(u(x)*v(x))'=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)


Ich habe das grad von dir übernommen, auch wenn mit die doppelte Verwendung der Variablen
nicht ganz gefällt, hoffe aber, du verstehst es, da es ja deine eigenen Gedanken sind^^.

Dann wende jetzt mal obige Informationen auf die letzte Zeile an Augenzwinkern .
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich hatte beim 1. Versuch verstanden das die Ableitung des zweiten Teils komplett falsch ist.

Alles klar.


u = -2x
u´= -2

v = e^(-2x)
v´= -2e^(-2x)


u = 1
u´= 0

v = e^(-2x)
v´= -2e^(-2x)


(u(x)*v(x))'=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)

f´´(x) = -2x*(-2e^(-2x))+(-2)(e^(-2x)+1*(-2e^(-2x))+e^(-2x)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man von 0€ spricht, meint man zwar, das man "nix" bekommt, aber sonst hat die 0 durchaus
eine Bedeutung^^.

f´´(x) = -2x*(-2e^(-2x))+(-2)(e^(-2x)+1*(-2e^(-2x))+e^(-2x)*0

Der Rest passt aber Freude . Jetzt einfach zusammenfassen und dann können wir ausklammern.
(Mach aber bitte einen Schritt nach dem anderen, also erst zusammenfassen, dann ausklammern,
damit ich dir folgen kann Augenzwinkern )
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

"Jetzt einfach zusammenfassen" Big Laugh

f´´(x) = -2x*(-2e^(-2x))+(-2)(e^(-2x)+1*(-2e^(-2x))+e^(-2x)*0
f´´(x) = 4xe^2x²+(-2e^4x)+(-2e^(-2x)
f´´(x) = 4xe^2x²-4e^2x

sieht irgendwie komisch aus.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zumindest die Vorfaktoren der e-Funktionen passen^^.

Erinnerst du dich noch an meine Worte von vorher, dass sich die e-Funktion nie ändert?
Bei dir ändern sich aber iwie beide e-Funktionen.

1. Problem: Bei deiner ersten e-Funktion hast du auf einmal ein x² in der Potenz?
Wie kommt das da hoch? Das hat da nichts verloren.

2. Problem: Bei beiden e-Funktionen ist das Minus verloren gegangen (in der Potenz) verwirrt .

Sonst aber passt es Augenzwinkern .
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

-2x*(-2e^(-2x))

da habe ich die -2x mal den Exponenten gerechnet ^^ dadurch sind auch die - - Zeichen entfallen...


Ich weiß jetzt nicht so richtig wie ich das machen soll und wo ich anfangen soll.
:-/
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die e-Funktion ist ein Faktor selbst, wenn du die -2 mit den -2x verarbeitest, reicht das schon aus.
Und erst rechts hat das was unten steht nichts mit der Potenz zu tun!!

f´´(x) = 4xe^-2x-4e^-2x

So also passt es. Jetzt wolltest du noch ausklammern. Tu es Augenzwinkern .
noob6 Auf diesen Beitrag antworten »

also nichts am Exponenten ändern ?!

f´´(x) = 4xe^-2x-4e^-2x
f´´(x) = e^-2x(4x-4)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, nichts am Exponenten ändern.


Du meinst zwar das richtige, allerdings fehlen notwendige Klammern.
f´´(x) = e^(-2x)*(4x-4)

Alles klar? smile
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