Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren

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vektorlümmel Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren
Meine Frage:
Wie kann ich zeigen, dass wenn das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren u,v den Wert 1 hat, also , die beiden Vektoren gleich sind, also ?

Meine Ideen:
Sollten die Vektoren gleich sein, müsste der Winkel, der die beiden einschließt ja 0 sein.
Dann müsste man das doch irgendwie mit der Formel

zeigen können, aber wie?! unglücklich
Rambo Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn die Norm eines Einheitsvektors?
vektorlümmel Auf diesen Beitrag antworten »

naja die Norm eines Einheitsvektors ist = 1 ...
Wenn ich als beispiel den Einheitsvektor

nehme und das in die genannte Formel für u und v einsetze, dann kommt (natürlich) auch raus

und


Ich weiss aber nicht, wie ich das formell zeigen kann ...
vektorlümmel Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte noch sagen, da es um Einheitsvektoren geht, gilt ausserdem:
,
die die Norm von u,v ja jeweils = 1 ist.
vektorlümmel Auf diesen Beitrag antworten »

keiner der mir helfen kann? unglücklich
Dangalf Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft Dir der Ansatz:



Kannst Du die rechte Seite nach den Regeln für's Skalarprodukt umformen?
 
 
vektorlümmel Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

damit komme ich nicht so recht weiter ...
ich will ja nicht zeigen, dass u-v gleich dem Nullvektor ist, sondern wenn das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren = 1 ist, die beiden Vektoren auch gleich sind.
Dangalf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorlümmel
[...] ich will ja nicht zeigen, dass u-v gleich dem Nullvektor ist, sondern [...] die beiden Vektoren auch gleich sind.

Das sind genau die ersten beiden Aussagen der Kette, die ich geschrieben habe. Mein Vorschlag war, die Aussage ganz rechts zu beweisen (unter Beachtung der gegebenen Voraussetzungen für und ), denn sie ist gleichbedeutend zu allen anderen Aussagen in der Äquivalenzkette, speziell zur linken .
Stimmst Du der Aussage "Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn die Differenz der Nullvektor ist" denn nicht zu?
Bei Beweisen muss man halt oft Zwischenschritte machen, die nicht sofort auf der Hand liegen, sonst wäre es ja zu einfach. Hier besteht der Ansatz darin, die Aussage über die Gleichheit von Vektoren in eine (äquivalente) Aussage über ein Skalarprodukt umzuwandeln. Das könnte hilfreich sein, denn es ist ja gegeben, dass sein möge.
Wenn Du es jetzt schaffst, damit zu berechnen und dann sogar noch 0 rauskommt, hast Du den geforderten Beweis erbracht.
vektorlümmel Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

doch bei der Aussage, dass u-v = der nullvektor sind stimme ich überein.
Wenn ich das bereits annehme und dann das Skalaprodukt vom Nullvektor mit sich selbst nehme, muss ja zwingend Null rauskommen. Das verstehe ich ...

Ok, wenn ich Einheitsvektoren habe, also deren Skalarprodukt also = 1 ist und wenn sie gleich sein sollen, muss gelten:


Dazu fällt mir grad ein, da die Länge (Norm) der Einheitsvektoren auch = 1 ist, gilt doch auch:

Dann gilt doch ebenfalls:

mit
ist
und mit
ist
Das würds doch auch zeigen oder?

Sorry, mit deinem Ansatz komm ich noch nicht so recht weiter unglücklich
Dangalf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorlümmel
moin,

doch bei der Aussage, dass u-v = der nullvektor sind stimme ich überein.
Wenn ich das bereits annehme und dann das Skalaprodukt vom Nullvektor mit sich selbst nehme, muss ja zwingend Null rauskommen.

Ja, und auch umgekehrt: "Wenn das Skalarprodukt von mit sich selbst Null ist, dann muss auch sein.", das habe ich mit der Kette von äquivalenten Aussagen hergeleitet
Nochmal in mathematischen Symbolen (das Zeichen bedeutet "genau dann, wenn", also äquivalente, d. h. gleichbedeutende Aussagen; vielleicht waren Dir die Begriffe nicht geläufig?):

Diese Aussage als Ganzes gilt für alle Vektoren, egal wie lang, und egal, wie groß ist. Im Normalfall wird halt das Skalarprodukt des Differenzvektors zweier zufällig gewählter Vektoren mit sich selbst nicht Null sein, da die beiden zufällig gewählten Vektoren nicht gleich sein werden.
Aber mit den Vorgaben der Aufgabe, nämlich , kannst Du berechnen:


Mir scheint die Aufgabe für Schulmathematik ein hohes Abstraktionsvermögen zu verlangen, ich bin allerdings kein Lehrer, um das wirklich beurteilen zu können. Möglicherweise ist daher Deine (korrekte) Schlussfolgerung für die Schule ausreichend, wenn man sich die Vektoren im zwei- oder dreidimensionalen Raum vorstellen darf.
Ich hoffe, ich habe Dich nicht mehr verwirrt als unterstützt.
vektorlümmel Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, naja, ein bisschen verwirrt bin ich schon smile
Werde mich mal ranmachen heute nachmittag zu verstehen, was du da mit dem Skalarprodukt für Umformungen gemacht hast Augenzwinkern

Schonmal danke!
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