Vereinigung unendlich vieler einfach zusammenhängender Gebiete

10.12.2012, 02:31	davmul	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung unendlich vieler einfach zusammenhängender Gebiete Hallo, ich möchte folgende Implikation zeigen. Sei $\begin{eqnarray} \{G_n ;n \in N\} \end{eqnarray}$ eine Menge einfach zusammenhängender Gebiete mit $\begin{eqnarray} G_n \subset G_{n+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G := \bigcup_{n \in N} G_n \end{eqnarray}$ . Dann ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Einfach zusammenhängend bedeutet jeder Zyklus in G ist nullhomolog, d.h. für alle $\begin{eqnarray} z \in C \setminus G \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} n_{\Gamma}(z)=0 \end{eqnarray}$ Als erstes möchte ich zeigen G ist ein Gebiet, d.h.: 1. nicht-leer 2. offen 3. zusammenhängend Zu 1. gilt offensichtlich Zu 2. die Vereinigung unendlich vieler offener Mengen ist wieder offen Zu 3. hier hätte ich gerne wegzusammenhängend, das habe ich aber nicht. Also bleibt mir nur: $\begin{eqnarray} M \subset V \end{eqnarray}$ eines Vektorraumes ist zusammenhängend wenn für alle $\begin{eqnarray} U, U' \subset V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U \cap U' \cap M = \emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M \subset U \cup U' \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} M \subset U \lor M \subset U' \end{eqnarray}$ Ich schaffe es nicht mit der Definition von zusammenhängend und den oben genannten Vorraussetzungen zu zeigen, das auch G ist zusammenhängend ist. Als zweites möchte ich "einfach zusammenhängend" zeigen, d.h. G hat keine "Löcher", in denen man sonst Punkte findet die von Zyklen umrundet werden könnten. Gruß, davmul
10.12.2012, 13:21	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung unendlich vieler einfach zusammenhängender Gebiete Hallo davmul, Die geläufige Definition für Simply Connected ist wohl "wegzusammenhängend und triviale Fundamentalgruppe". Eure Definition wird dazu ja wohl irgendwie äquivalent sein, wenn also jedes G_n wegzsh. ist, ist es auch nicht besonders schwer zu zeigen, dass ihre Vereinigung wegzusammenhängend ist (ich bin ein x, du bist ein y, es gibt dann aber schon ein G_m, dass uns beide enthalten muss, also finde ich zu dir). Der zweite Teil sollte denke ich auch nicht kompliziert sein, wenn man sich vor Augen hält, dass das Bild eines Loops kompakt ist. lg kai
11.12.2012, 16:57	davmul	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung unendlich vieler einfach zusammenhängender Gebiete Hallo Kai, vielen Dank für die Antwort! Ich habe nun einen passenden Satz gefunden der mir erlaubt Wegzusammenhang zu nutzen. In einem normierten Vektorraum $\begin{eqnarray} (V,\|\| \cdot \|\|) \end{eqnarray}$ gilt. Für ein offenes $\begin{eqnarray} M \subset V \end{eqnarray}$ ist äquivalent: (i) M ist zusammenhängend (ii) M ist wegzusammenhängend Damit lässt sich zusammenhängend viel einfacher Beweisen. Sei $\begin{eqnarray} x,y \in G \end{eqnarray}$ , dann ex. wegen $\begin{eqnarray} G_n \subset G_{n+1} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} i \in N \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} x,y \in G_i \subset G \end{eqnarray}$ in dem x und y wegzusammenhängend sind. Also auch in G. Beim einfachen zusammenhang sehe ich noch nicht wie mir die Kompakheit helfen könnte.

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