Sigma Algebren Inklusion

10.12.2012, 04:05

Malina88

Sigma Algebren Inklusion

z.z Wenn C Teilmenge von D ist so ist die von C erzeugte Sigmaalgebra Teilmenge der von D erzeugten Sigmaalgebra.

Angeblich ist es trivial, ich krieg es aber nicht hin.

Mein Ansatz war:

Wenn X ein Element aus der von C erzeugen SAL ist dann liegt es im Schnitt aller SAL, die C enthalten.
Warum dieses Element nun in der von D erzeugen SAL liegen muss seh ich leider nicht.

10.12.2012, 11:04

Malina88

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Ich schreib es nochmal in Formeln auf, vielleicht hilft mir dann jemand:-)

z.z. Wenn $\begin{eqnarray*} C \subset D \end{eqnarray*}$ , so gilt: $\begin{eqnarray*} \sigma (C) \subset \sigma (D) \end{eqnarray*}$

wobei dies wie folgt definiert ist: $\begin{eqnarray*} \sigma (C)= \bigcap_{\substack{A \supset C \\A \sigma Algebra}} \end{eqnarray*}$

10.12.2012, 11:21

HAL 9000

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Der Durchschnitt da wird gebildet über Mengen von Sigma-Algebren. Nun ist es wegen $\begin{eqnarray*} C\subset D \end{eqnarray*}$ so, dass alle Sigma-Algebren aus der Menge

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_D = \left\{ A \bigm| A\;\mbox{ist Sigma-Algebra mit}\; D\subset A \right\} \end{eqnarray*}$

auch in der Menge

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_C = \left\{ A \bigm| A\;\mbox{ist Sigma-Algebra mit}\; C\subset A \right\} \end{eqnarray*}$

enthalten sind, das folgt schlicht aus

$\begin{eqnarray*} C\subset D \,\wedge\, D\subset A \quad\Rightarrow\quad C\subset A \end{eqnarray*}$

Die Durchschnittsoperation ist nun aber antiton, d.h., bildet man den Durchschnitt über mehr Elemente (C), dann ist dieser Durchschnitt dann höchstens so groß wie der über weniger Elemente (D), in Formeln

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A_C} \supset \mathcal{A_D} \quad\Rightarrow\quad \bigcap \mathcal{A_C} \subset \bigcap \mathcal{A_D} \end{eqnarray*}$

09.03.2013, 17:08

wolfgang-e

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Ich verstehe nicht wieso $\begin{eqnarray*} \mathcal{A_C} \supset \mathcal{A_D} \end{eqnarray*}$ gilt.
Müsste es nicht umgekehrt sein?
Wenn C Teilmenge von D ist, heißt das wohl noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{A_C} \supset \mathcal{A_D} \end{eqnarray*}$ sein muss??!!

10.03.2013, 13:29

HAL 9000

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Nein, es stimmt so, wie es dasteht. unglücklich

Nochmal ganz, ganz, ganz langsam: Betrachten wir irgendein $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{A}_D \end{eqnarray*}$ , aufgrund der Definition von $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_D \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra, und es gilt außerdem $\begin{eqnarray*} D\subset A \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} C\subset D \end{eqnarray*}$ folgt aus letzterem dann auch $\begin{eqnarray*} C\subset A \end{eqnarray*}$ . Da nun also sowohl $\begin{eqnarray*} C\subset A \end{eqnarray*}$ als auch " $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist eine Sigma-Algebra" gilt, folgt laut Definition von $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_C \end{eqnarray*}$ jetzt auch $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{A}_C \end{eqnarray*}$ .

Wir haben also gezeigt, dass für jedes $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{A}_D \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{A}_C \end{eqnarray*}$ gilt, das kann man mengenmäßig eben auch $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_D\subset \mathcal{A}_C \end{eqnarray*}$ schreiben.

10.03.2013, 14:06

wolfgang-e

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Zuerst einmal danke für deine Antwort.
Jetzt verstehe ich endlich, warum $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_D\subset \mathcal{A}_C \end{eqnarray*}$ gilt. Vielen Dank!
Noch zwei Fragen:
Fällt dir ein Gegenbeispiel bzw. Widerspruch ein, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_C\subset \mathcal{A}_D \end{eqnarray*}$ nicht gilt?

Du erklärst die letzte Schlussfolgerung von deinem alten Post damit, dass die Durchschnittsoperation antiton ist. Aber kann man diese Schlussfolgerung $\begin{eqnarray*} \mathcal{A_C} \supset \mathcal{A_D} \quad\Rightarrow\quad \bigcap \mathcal{A_C} \subset \bigcap \mathcal{A_D} \end{eqnarray*}$ nicht noch etwas ausführlicher/formaler anschreiben? Denn so richtig klar, dass dies wirklich immer gilt, ist dies in meinen Augen nicht?! Oder habe ich da wieder etwas nicht ganz richtig verstanden?

10.03.2013, 15:26

HAL 9000

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Eine Frage: Verstehst du überhaupt die Symbolik $\begin{eqnarray*} \bigcap \mathcal{A_C} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \bigcap \mathcal{A_D} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \bigcap \mathcal{A_C} \end{eqnarray*}$ als Durchschnitt aller in $\begin{eqnarray*} \mathcal{A_C} \end{eqnarray*}$ enhaltenen Sigma-Algebren umfasst genau diejenigen Mengen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , die in sämtlichen Sigma-Algebren $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{A_C} \end{eqnarray*}$ enthalren sind.

Und jetzt durchdenkst du alles nochmal. Es ist nicht wirklich schwer, aber man muss sich eben wirklich konzentrieren, um nicht Mengen, Mengensysteme, sowie Mengen von Mengensystemen durcheinanderzuwerfen. Augenzwinkern

10.03.2013, 21:12

wolfgang-e

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Wie gesagt, mir ist inzwischen klar, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_D\subset \mathcal{A}_C \end{eqnarray*}$ gilt.

Zu deiner Frage:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A_C} \end{eqnarray*}$ ist für mich die Menge aller Sigma-Algebren, die die Menge C enthalten.
Somit ist $\begin{eqnarray*} \bigcap \mathcal{A_C} \end{eqnarray*}$ der Durchschnitt all dieser Sigma-Algebren, mit obiger Eigenschaft.

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A_D} \end{eqnarray*}$ ist für mich die Menge aller Sigma-Algebren, die die Menge D enthalten.
Somit ist $\begin{eqnarray*} \bigcap \mathcal{A_D} \end{eqnarray*}$ der Durchschnitt all dieser Sigma-Algebren, mit obiger Eigenschaft.

Ich wiederhole meine Frage.
Wie kommst du auf diesen Schluss
$\begin{eqnarray*} \mathcal{A_C} \supset \mathcal{A_D} \quad\Rightarrow\quad \bigcap \mathcal{A_C} \subset \bigcap \mathcal{A_D} \end{eqnarray*}$ ?

Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{A_C} \end{eqnarray*}$ "größer" ist als $\begin{eqnarray*} \mathcal{A_D} \end{eqnarray*}$ . Und mir ist auch klar, dass sich mit dem Durchschnitt die Teilmengenrelation umkehren KANN.
Aber wie man das mit Sicherheit sagen kann bzw. wie man es schön formal anschreibt, ist mir ein Rätsel.

11.03.2013, 00:26

HAL 9000

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Ich denke, unbewusst haderst du trotzdem noch mit der Symbolik, deswegen verwende ich mal besser das ausführlichere $\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{A\in \mathcal{A}_C} A \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \bigcap \mathcal{A}_C \end{eqnarray*}$ ...

Aufgrund von $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_D\subset \mathcal{A}_C \end{eqnarray*}$ kann man die rechte Menge als disjunkte Vereinigung

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_C = \mathcal{A}_D \cup \left( \mathcal{A}_C \setminus \mathcal{A}_D\right) \end{eqnarray*}$

schreiben. Damit ist dann für die Durchschnitte

$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{A\in \mathcal{A}_C} A = \bigcap\limits_{A\in \mathcal{A}_D \cup \left( \mathcal{A}_C \setminus \mathcal{A}_D \right)} A = \left( \bigcap\limits_{A\in \mathcal{A}_D} A \right) \cap \left( \bigcap\limits_{A\in \mathcal{A}_C \setminus \mathcal{A}_D} A \right) \subset \bigcap\limits_{A\in \mathcal{A}_D} A \end{eqnarray*}$ ,

oder stellst du jetzt auch noch den zuletzt verwendeten Schluss $\begin{eqnarray*} U\cap V \subset U \end{eqnarray*}$ in Frage?

Zitat:

Original von HAL 9000
aber man muss sich eben wirklich konzentrieren, um nicht Mengen, Mengensysteme, sowie Mengen von Mengensystemen durcheinanderzuwerfen. Augenzwinkern

Hast du leider überhaupt nicht registriert - enttäuschend. unglücklich

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