Matrixinversion

10.12.2012, 10:07	Womanpower	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixinversion Meine Frage: Guten Morgen. Eine n x n-Matrix $\begin{eqnarray} M_{n} \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} (M_{n})_{ij}=\delta_{ij}m+\delta_{1j} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (i,j=1,...n) \end{eqnarray}$ Zu Berechnen ist $\begin{eqnarray} (M_{3})^{-1} \end{eqnarray}$ . Wie muss die inverse Matrix $\begin{eqnarray} (M_{n})^{-1} \end{eqnarray}$ für ein allgemeines n aussehen ? Meine Ideen: Also $\begin{eqnarray} M_{3} \end{eqnarray}$ somit haben wir es mit einer 3x3 Matrix zu tun? Dann haben wir die Elemente 11 12 13 und so weiter stehen und das soll ich einfach invertieren? (Die Inverseberechnug ist mir schon geläufig)
10.12.2012, 17:05	Womanpower	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist mein Ansatz in Ordnung, oder falsch?
10.12.2012, 17:40	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe deine Matrix $\begin{eqnarray} M_3 \end{eqnarray}$ ausführlich hin. Danach überlege mit welchem Vektor du die Matrix multiplizieren musst, um die erste Spalte der Einheitsmatrix zu erhalten. Tip evtl. zuerst die 3.Komponente des Vektors bestimmen. Danach das Gleiche für den Rest der Einheitsmatrix durchführen. Sicherlich erkennst du dann eine bestimmte Gesetzmäßigkeit die sich auf die Bestimmung der Inversen von $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ anwenden lässt.
10.12.2012, 18:50	Womanpower	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} M_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das ist ja die Einheitsmatrix ? Die Inverse der Einheitsmatrix ist wieder die Einheitsmatrix, also um die ersten Spalte herauszubekommen müsste ich mit 1/0/0 multiplizieren, aber das ist bestimmt falsch? Ich verstehe den folgenden Zusammenhang nicht $\begin{eqnarray} (M_{n})_{ij}=\delta_{ij}m+\delta_{1j} \end{eqnarray}$ Wie die matrix aussehen sollen ? Das Kronecker-Delta ist definiert wenn ij gleich sind dann ist es 1 wenn es ungleich ist dann ist es 0 und was ist jetzt das m ?
10.12.2012, 20:48	Womanpower	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich starre das Blatt an und komme irgendwie nicht darauf.
10.12.2012, 23:40	Womanpower	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (M_{n})_{ij}=\delta_{ij}m+\delta_{1j} \end{eqnarray}$ Kann es sein das die Matrix dann so aussieht ? $\begin{eqnarray} M_{3}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weil wir haben ja das Kronecker-Delta wo wir nur Werte bei 11 22 und 33 eine 1 bekommen und $\begin{eqnarray} +\delta_{1j} \end{eqnarray}$ also auch eine 1 bei 11 22 und 33 ???
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11.12.2012, 08:43	Womanpower	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin ich da auf einem richtigen Weg oder habe ich mich verritten?
12.12.2012, 19:25	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Eher so $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0& m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um die Inverse zu bestimmen, ist folgendes Gleichungssystem zu lösen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0& m \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimme die Unbekannten a, b und c so, dass diese Gleichung stimmt. Tipp: fange mit der 3-ten Zeile an.

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