Relative Extremstellen

10.12.2012, 11:23	isani91	Auf diesen Beitrag antworten »
Relative Extremstellen Meine Frage: Ich habe Probleme die relativen Extremstellen zu berechnen und Sattelpunkte zu ermitteln. Bin mir sehr unsicher ob ich es verstanden habe. Meine Ideen sind die Dinge, die ich herausbekommen habe. (II) konnte ich leider gar nicht lösen und bin total verwirrt Die Fragestellungen lauten: Nr. 1 a)Welche der Funktionen haben keine relativen Extremstellen? Begründen Sie Ihre Antwort kurz und treffend. b)Welche der Funktionen haben Sattelpunkte? Bestimmen Sie diese Nr. 2 Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch? Geben Sie für die wahren Aussagen eine kurze Begründung und für die falschen ein Gegenbeispiel an. (I) Eine differenzierbare Funktion f mit Df=R kann nur eine Extremstelle an der Stelle xe besitzen, wenn dort f'(xe)=0 ist. (II) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df=R. Hinreichend dafür, dass xe keine relative Extremstelle von f ist, ist f'(xe) ungleich 0 (III) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df=R. f'(x)=0 und f''(xe)<0 sind zusammen ein hinreichendes Kriterium für einen relativen Tiefpunkt. (IV) Die Funktion f sei eine im Intervall [a;b] definierte Funktion, die im Inneren deses Intervalls differenzierbar ist. Wenn f an einer Stelle xe Element von [a;b] ein absolutes Maximum hat, liegt an dieser Stelle eine waagerechte Tangente vor. (V) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df=R. Hat f an der Stelle xe einen Wendepunkt mit einer Wendetangente, die die Steigung 0 hat, so liegt an der Stelle xe ein Sattelpunkt vor. Meine Ideen: Nr. 1 (I) f(x)=3x+2 mit Df=R f(x)'=3 0 ungleich 3 Keine Extremstellen sind vorhanden, da die 1. Ableitung ungleich 0 ist und eine Gerade keine Extremstellen besitzt. (II) Macht mir besonders zu schaffen aufgrund des 1/x f(x)=-1/x mit Df=R* f'(x)=-x^-2 Ist das ungleich null oder gleich null? Und wenn ja, warum? (III) f(x)=x^3+3x mit Df = R f'(x)=3x^2 +3 => Gleich nullsetzen, Ergebnis Wurzel -1, also keine Extremstelle, da ich durch eine negative Zahl keine Wurzel ziehen kann. (IV) f(x)=x^3-8 mit Df=R f'(x)=3x^2 Es ist eine Extremstelle vorhanden, da 0=3x^2 / mal 1/3 0=x macht. (v) f(x)=x^3-2x^2 mit Df=R f'(x)=3x^2-4x mit Df=R Anwendung der PQformel ist möglich, die Funktion hat also Extremstellen. (VI) f(x)=2x^3+3x^2+12 f'(x)=6x^2+6x Die PQ-Formel ist auch hier anwendbar, also sind hier auch Extremstellen vorhanden. Jetzt kommt der Teil, bei dem ich mir noch wesentlich unsicherer bin, die Berechnung des Sattelpunktes. Bei der näheren Untersuchung für Sattelpunkte fallen ja schon I, II weiß ich nicht und III raus, da die Bedingung für einen Sattelpunkt f'=0, f''=0 und f''' ungleich 0 ist. (IV) 1. f(x)=x^3-8 f'(x)=3x^2 f''(x)=6x f'''(x)=6 2.f'(x)=3x^2 0=x (Ausrechnen der 1. Ableitung) 3.f''(x)=6x 0=x (Ausrechnen der 2. Ableitung) 4.Hier setze ich das Ergebnis der 2. Ableitung ein. f'''(0)=6 0 ungleich 6 = Sattelpunkt 5. Einsetzen der Nullstelle von der 2. Ableitung in f(x) f(x)=0-8 Also ist der Sattelpunkt bei (0/-8) (v) 1.f(x)=x^3-2x^2 f'(x)=3x^2-4x f''(x)=6x-4 f'''(x)=6 2. f'(x)=3x^2-4x =>PQ-Formel ergibt x'=0 x²=1,25 0=x 3.f''(x)=6x-4 =>4/6 0=x 4. f'''(4/6)=6 0 ungleich x 5. f(4/6)=4/6^3-2X4/6^2 f(4/6)=0,3-0,9 f(4/6)=0,6 Der Sattelpunkt befindet sich bei (4/6, 0,6) (VI) 1. f(x)2x^3+3x^2+12 f'(x)=6x^2+6x f''(x)=12x+6 f'''(x)=12 2. f'(x)=6x^2+6x Anwendung der PQ-Formel ergibt -0,25 und -0,75 0=x 3. f''(x)=12x+6 =>-0,5 0=x 4. f'''(-0,5)=12 0 ungleich x 5. f(-0,5)=2 X (-0,5)^3+3X(-0,5)^2+12 =-0,25+0,75+12=12,5 Der Sattelpunkt befindet sich bei (-0,5/12,5) Nr. 2 Dabei tu ich mich sehr schwer. Habe einen früheren Threat hier gefunden mit der gleichen Aufgabe, bin daraus aber leider nicht schlauer geworden (I) Wahr, weil es ein notwendiges Kriterium ist, damit die Funktion eine Extremstelle besitzt. Es lohnt sich nur die Funktion weiter zu untersuchen wenn sie bei f' einen Nullpunkt hat, da sie sonst keine notwendige Bedingung erfüllt. f(x)=3x^3 erfüllt die Bedingungen, da x=0 ist. (II) Falsch, es ist ein notwendiges Kriterium, dass f keine Extremstellen besitzt und kein hinreichendes.(Meint ihr, als Beispiel kann ich auch ein nichtmathematisches aufführen?) Es ist ein notwendiges und nicht hinreichendes Kriterium was das Beispiel einer Straße verdeutlichen soll. Die Nässe auf der Straße ist ein notwendiges Kriterium um zu ermitteln, ob es überhaupt regnet. Für Extrempunkte ist ein notwendiges Kriterium um Extremstellen untersuchen zu können, dass die erste Ableitung = 0 gesetzt werden kann, da sonst keine Extremstellen vorhanden sind. Wenn die Straße trocken ist, muss man ja auch keine Überlegungen anstellen ob es geregnet hat. Eine Gerade z.B.: f(x)=3x +2 hat die Ableitung f'(x)=3, also ist das notwendige Kriterium nicht gegeben. (III)Falsch, da ein relativer Tiefpunkt vorhanden ist, wenn f''(xe)>0. f(x)=x² f'(x)=2x f''(x)=2 Also handelt es sich um einen Tiefpunkt, da 0<2 bei f''(x)=-2 würde es sich um einen Hochpunkt handeln, da 0>2 ist. (IV)Falsch, aber ich kann nicht wirklich erklären warum es so ist. (V) Wahr, weil es sich dabei um die Definition des Sattelpunktes handelt. (Beispiel?)
10.12.2012, 11:47	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relative Extremstellen zu II: die Ableitung ist falsch (Vorzeichen). Was mögliche Nullstellen angeht: gibt es irgendeine Chance, daß 1 dividiert durch irgendwas gleich Null sein kann? zu IV: da hast du nicht beachtet, daß für das Vorliegen einer relativen Extremstelle noch eine weitere Bedingung erfüllt sein muß. zu V und VI: das ist argumentativer Unfug. Die Anwendung der pq-Formel garantiert nicht das Vorliegen einer Extremstelle.

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