Verteilung berechnen

10.12.2012, 12:14	Sobido	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung berechnen Meine Frage: Hallo, ich möchte die Verteilung(Verteilungsfunktion oder Dichte) berechnen von $\begin{eqnarray} X \cdot Y \end{eqnarray}$ . Dabei sind X und Y unabhängige Zufallsvariablen von $\begin{eqnarray} \Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_X(x)=12x^2(1-x)1_{[0,1]}(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_Y(x)=12x(1-x)^2 1_{[0,1]}(x) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß, dass das Integral über die Dichtefunktion die Verteilungsfunktion ist. Sie gibt an, wieviel Fläche unter der Dichtefunktion ist. Deshalb ist die Verteilungsfunktion links von der Dichtefunktion gleich 0. Sie steigt dann an und das Integral von 0 bis unendlich ist gleich 1. Ich muss also für die Verteilungsfunktion berechnen: $\begin{eqnarray} F_X(x)=\int_0^X f(t)dt \end{eqnarray}$ . Dabei ist f(t) die Dichtefunktion. Ich komme aber hier mit dem X*Y nicht klar - wie kann ich denn hier ansetzen? Vielen Dank für eure Hilfe. Sobido
10.12.2012, 13:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, zunächst mal ist einfach per Defintion $\begin{eqnarray} F_{XY}(t) = P(XY\leq t) = \iint\limits_{\substack{x,y\in\mathbb{R}:\\ xy\leq t}} f_X(x)f_Y(y) ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray}$ Da nun die Dichten außerhalb von $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ gleich Null sind, kann man das iterieren und vereinfachen zu $\begin{eqnarray} F_{XY}(t) = P(XY\leq t) = \int\limits_0^1 \int\limits_0^{\frac{t}{x}} f_X(x)f_Y(y) ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray}$ Eine weitere Berücksichtigung dessen, dass $\begin{eqnarray} f_Y(y)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y>1 \end{eqnarray}$ ist, führt zu $\begin{eqnarray} F_{XY}(t) = P(XY\leq t) = \int\limits_0^t \int\limits_0^1 f_X(x)f_Y(y) ~ \dd y ~ \dd x ~+~ \int\limits_t^1 \int\limits_0^{\frac{t}{x}} f_X(x)f_Y(y) ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray}$ Mit diesen Integrationsbereichen ist für die Integrationsvariablen nunmehr dafür gesorgt, dass stets $\begin{eqnarray} x,y\in [0,1] \end{eqnarray}$ gilt, so dass die entsprechenden Dichteformeln da eingesetzt werden können. Frohes Rechnen! P.S.: Hier mal eine Skizze für $\begin{eqnarray} t=0.3 \end{eqnarray}$ Der Integrationsbereich ist der Teil des Einheitsquadrates, der links unterhalb der roten Kurve liegt. EDIT: Sorry, hatte an einigen Stellen dy statt dx geschrieben - nunmehr korrigiert.

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