Beweis Kommutativgesetz der Multiplikation

10.12.2012, 14:40	TNT	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Kommutativgesetz der Multiplikation Meine Frage: Hallo zusammen, mich interessiert, wie man das Kommutativgesetz der Multiplikation beweisen kann. Bei Google habe ich einen Beweis mittels vollständiger Induktion gefunden. Ich wollte fragen, ob meine Idee eines Beweises (ohne vollständige Induktion, einfach nur durch Umformungen) auch richtig ist oder ob ich da einen Fehler gemacht habe : Meine Ideen: Behauptung: a * b = b * a Beweis: a * b = c (Gleichung I) Nach a umgeformt: a = c / b Statt a den eben gefundenen Term c/b im Produkt b * a einsetzen: b * a = b * c / b (b auf der rechten Seite wegkürzen) b * a = c (Gleichung II) Da die jeweils rechte Gleichungsseite von Gleichung (I) und (II) identisch sind (nämlich c), müssen auch die linken Gleichungsseiten identisch sein. Also: a * b = b * a was zu beweisen war. Ist meine Beweisführung so richtig oder hab ich einen Denkfehler gemacht? Viele Grüße
10.12.2012, 15:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Unrichtige bzw. nicht zielführende Aussage entfernt! Die Division durch b ist tatsächlich problematisch. mY+
10.12.2012, 15:12	YogSothoth	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss da einmal eingreifen: $\begin{eqnarray} c/b \end{eqnarray}$ ist nur dann sinnvoll, wenn bereits $\begin{eqnarray} b^{-1}\cdot c=c\cdot b^{-1} \end{eqnarray}$ für alle b,c mit $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ gilt, was bereits die Kommutativität ist.
11.12.2012, 11:32	TNT	Auf diesen Beitrag antworten »
noch nicht ganz verstanden Hallo mYthos und YogSothoth, vielen Dank für Eure Antworten! Ich wollte nochmal nachfragen, ob ich die Antwort von YogSothoth so richtig verstanden habe: Bei "meinem" Beweis der Kommutativität setzte ich die Gültigkeit der Kommutativität bereits voraus, so daß ich etwas als gültig vorraussetzte, dessen Gültigkeit ich erst beweisen sollte? Demnach ist "mein" Beweis gar kein Beweis? Was ich nicht verstehe: Um die Gleichung a * b = c (Gleichung I) nach a umzuformen, muß ich doch die Gleichung durch b dividieren. Das entspricht zwar einer Multiplikation mit dem inversen Element von b, aber wenn ich die Umformung statt mit b hoch (-1) einfach mit Bruchstrich schreibe, umgehe ich doch das Problem zeigen zu müssen, daß b hoch (-1) * c = c * b hoch (-1) ? Tut mir leid, ich kenne mich mit EDV nicht so gut aus und wußte daher nicht, wie ich mit dem Formeleditor den Term b hoch (-1) richtig schreiben kann Viele Grüße
11.12.2012, 13:08	Nofeys	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass teilen eigentlich garkeine Operation ist, die du durchführen kannst. Du kannst höchstens mit dem inversen Element von etwas multiplizieren. Wenn du die Kommutativität nicht voraussetzt, musst du dich entscheiden, wie du a/b deuten willst. Ist es ab^(-1) oder b^(-1)a ? Beides gleichzeitig würde ja die Kommutativität voraussetzen. Im ersten Fall kannst du a * b = c durch multiplikation von rechts mit b^(-1) tatsächlich zu a = cb^(-1) also a = c/b umformen. Dann hast du aber an dieser Stelle hier Probleme: b a = b * c / b Denn da steht jetzt nur bcb^(-1) und das kannst du ohne verwendung des Kommutativgesetzes garnicht weiter auflösen. Nimmst du stattdessen a/b := b^(-1)a, dann kannst ab = c dann folgt nach rechtsmultiplikation von b^(-1) nur a = cb^(-1). cb^(-1) ist aber dann im Allgemeinen ohne Kommutativgesetz nicht gleich c/b, welches ja gleich b^(-1)*a war.
11.12.2012, 17:17	TNT	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Nofeys, leider habe ich in Mathe nur ein wenig Schulkenntnisse. Deshalb verstehe ich nicht, warum Teilen eine Operation ist, die man hier nicht durchführen kann. Im Unterricht haben wir gelernt, daß man beim Umformen von Gleichungen auch teilen darf, solange der Divisor ungleich 0 ist. Was ich auch nicht verstehe ist die Aussage (Zitat): "...Dann hast du aber an dieser Stelle hier Probleme: b * a = b * c / b Denn da steht jetzt nur bcb^(-1) und das kannst du ohne verwendung des Kommutativgesetzes garnicht weiter auflösen...." Ich hätte hier gar nicht das Kommutativgesetz angewendet, also zu bb^(-1)c umgeformt, sondern diesen Term als Bruch geschrieben (mit b*c im Zähler und b im Nenner). Und dann hätte ich b im Zähler und Nenner weggekürzt, so daß auf der rechten Gleichungsseite nur c stehen bleibt. Oder liegen meine Verständnisschwierigkeiten evtl. daran, daß man "meine" Vorgehensweise (mit teilen und kürzen) in der Schule zwar so lernt, daß es sich dabei aber um "Vereinfachungen" handelt, die mathematisch nicht korrekt sind und deshalb für Beweise nicht benutzt werden dürfen??? Viele Grüße
Anzeige

11.12.2012, 21:16	Nofeys	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder liegen meine Verständnisschwierigkeiten evtl. daran, daß man "meine" Vorgehensweise (mit teilen und kürzen) in der Schule zwar so lernt, daß es sich dabei aber um "Vereinfachungen" handelt, die mathematisch nicht korrekt sind und deshalb für Beweise nicht benutzt werden dürfen??? Nein, das ist es nicht. Vielleicht einmal vorweg: ich versuche mal, dir einen Einblick in die etwas vereinfachte mathematische Betrachtung der Reellen Zahlen zu geben. Für das Rechnen mit reellen Zahlen werden zunächst einmal nur 2 Operationen definiert: + und . a-b und a/b sind dann nur kurzschreibweisen für a+(-b) bzw. ab^(-1). Wobei -b jenes Element ist, für das b+(-b) = 0 gilt und b^(-1) jenes für das bb^(-1) =1 gilt. Wenn du also a/b schreibst, steht da eigentlich ab^(-1). Die Regel a/b * b = a gilt also auch so direkt nach Definition. b* a/b = a gilt hingegen nicht direkt, denn da steht dann eigentlich bab^(-1), was du nicht zu a vereinfachen kannst. Diese Regel wird erst gültig, wenn das Kommutativgesetz gilt. Du siehst also, dass deine Kürzungregel so wie du sie verwendest, das Kommutativgesetz benötigt. Sie ist deswegen nicht mathematisch inkorrekt, du kannst sie bloß nicht verwenden, um dieses Gesetz zu zeigen. Wenn du noch Fragen hast, nur zu. Für mich als frischer Student ist das eine gute Übung
12.12.2012, 08:34	TNT	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank! ...jetzt hab ich`s kapiert Dankeschön für Deine sehr ausführlichen Erklärungen Viele Grüße

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »