Konvergenz einer Reihe, komplexe Zahlen

10.12.2012, 15:55

Threadersteller

Konvergenz einer Reihe, komplexe Zahlen

Meine Frage:
Hey,

ich mache gerade eine Aufgabe, wo in möglichst einfacher Weise die Menge D aller $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C, z \neq 1 \end{eqnarray*}$ zu ermitteln ist, für die gilt, dass diese Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{z}{1-z})^{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Meine Ideen:
Ich weiß einfach nicht, wie ich damit anfangen soll. Kann man hier das Wurzelkriterium benutzen? Würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

11.12.2012, 10:26

Jello Biafra

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RE: Konvergenz einer Reihe, komplexe Zahlen
Nun, für $\begin{eqnarray*} \left|\frac z{1-z}\right|\neq 1 \end{eqnarray*}$ ist, wegen der bekannten Eigenschaften der geom. Reihe, alles klar.

Bleibt also nur der Fall $\begin{eqnarray*} \left|\frac z{1-z}\right|=1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

12.12.2012, 19:43

Threadersteller

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RE: Konvergenz einer Reihe, komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Jello Biafra
Nun, für $\begin{eqnarray*} \left|\frac z{1-z}\right|\neq 1 \end{eqnarray*}$ ist, wegen der bekannten Eigenschaften der geom. Reihe, alles klar.

Bleibt also nur der Fall $\begin{eqnarray*} \left|\frac z{1-z}\right|=1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Wie kann ich denn die geometrische Reihe in den Zusammenhang dazu bringen?

Und wieso muss ich den Fall = 1 betrachten wenn es den garnicht gibt? *confused*

13.12.2012, 09:05

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe, komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Threadersteller
Wie kann ich denn die geometrische Reihe in den Zusammenhang dazu bringen?

Verstehe die Frage nicht. Was du hast, ist doch eine geometrische Reihe.

Zitat:

Original von Threadersteller
Und wieso muss ich den Fall = 1 betrachten wenn es den garnicht gibt? *confused*

Wieso sollte es den nicht geben? Was ist z.B. mit z=1/2 ?

13.12.2012, 09:09

Jello Biafra

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RE: Konvergenz einer Reihe, komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Threadersteller
Wie kann ich denn die geometrische Reihe in den Zusammenhang dazu bringen?

Mittels $\begin{eqnarray*} q:=\frac z{1-z}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Threadersteller
Und wieso muss ich den Fall = 1 betrachten wenn es den garnicht gibt? *confused*

So so, den Fall $\begin{eqnarray*} \left|\frac z{1-z}\right|=1 \end{eqnarray*}$ gibt es also nicht? *even more confused*

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