Leibnizkriterium + Grenzwert

10.12.2012, 19:41

oschili

Leibnizkriterium + Grenzwert

Hallo liebe Community,

ich soll durch das Leibnizkriterium zeigen, dass die Reihe konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Die erste Bedingung ist ja, das die Beträge der Reihe immer kleiner werden, bez. kleiner sind als deren Vorgänger. Ich denke das ist mir relativ klar.

Ein zweites Kriterium ist aber, das die Reihe gegen 0 strebt für n gegen unendlich. Das ist ja eine Limesgrenzwertbetrachtung. Bei der Reihe tue ich mich aber schwer, über den Ansatz weiterzukomen. Könnte mir vllt. einer beim Umformen helfen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Danke smile

10.12.2012, 19:48

Hellsing91

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Zitat:

Ein zweites Kriterium ist aber, das die Reihe gegen 0 strebt für n gegen unendlich. Das ist ja eine Limesgrenzwertbetrachtung. Bei der Reihe tue ich mich aber schwer, über den Ansatz weiterzukomen. Könnte mir vllt. einer beim Umformen helfen? $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Naja du musst nur zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n}:= \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Das ist aber offensichtlich wahr, denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{1}{2n+1}\leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} = 0 \end{eqnarray*}$

Nach dem einschlusskriterien konvergiert die Folge offensichtlich gegen 0.

Lg. Hellsing

10.12.2012, 19:51

Che Netzer

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Zitat:

Original von Hellsing91
Naja du musst nur zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n}:= \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Eine monotone Nullfolge.

12.12.2012, 14:09

Hellsing91

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Zitat:

Eine monotone Nullfolge.

Da hast du natürlich recht, aber es ging oschili ja nur um darum, wie man zeigt das es gegen 0 konvergiert.

Das mit der monotonie hatte er ja bereits.

Mfg. Hellsing smile

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