Faktorisierung mit Berlekamp

10.12.2012, 19:11

alcardaalanda

Faktorisierung mit Berlekamp

Hallo zusammen. Folgende Aufgabe beschäftigt mich:

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^6+x^4+2x^2+1 \in \mathbb F_3[x] \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe des Berlekamp-Algorithmus soll nun eine Zerlegung bestimmt werden.

Doch ich kam auf die Erkenntnis, dass f irreduzibel ist, was ein bisschen der Logik dieser Übungsaufgabe widersprechen würde. Das macht mich doch nachdenklich.

Also, ich habe zuerst mal die Berlekamp-Matrix aufgestellt für die Abbildung $\begin{eqnarray*} ß: a \rightarrow a^3-a \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&2 \\ 0&0&2&0&0&0 \\ 0&0&0&2&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt habe ich mich daran gemacht, die Berlekamp-Subalgebra zu bestimmen. Dort gelange ich allerdings zu dem Schluss, dass $\begin{eqnarray*} b_1=b_2=b_3=b_4=b_5=0 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist der Kern isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ und f somit irreduzibel. Habe ich mich irgendwo verrechnet? Bin eigentlich alle Schritte mehrmals durchgegangen und kann keinen Fehler finden. Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen?

10.12.2012, 19:44

Mystic

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RE: Faktorisierung mit Berlekamp
Ich hab jetzt deine Rechnungen nicht im Detail überprüft, aber das Ergebnis, dass das Polynom irreduzibel mod 3 ist, ist jedenfalls korrekt... Augenzwinkern

10.12.2012, 19:52

alcardaalanda

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Danke für die schnelle Antwort!

Dann scheinen die Rechnungen doch zu stimmen. Mich hat es aber doch sehr gewundert, dass in der Aufgabe nach einer Faktorisierung von f gesucht wird, f aber schon irreduzibel ist...

Wie hast du denn so schnell herausgefunden, dass f über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, wenn ich fragen darf? smile

10.12.2012, 20:15

Mystic

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Zitat:

Original von alcardaalanda
Wie hast du denn so schnell herausgefunden, dass f über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, wenn ich fragen darf? smile

Naja, man muss die $\begin{eqnarray*} ggT(f(x),x^{3^k}-x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ für k=1,2,3,...[n/2] berechnen... Ist dabei irgendwann einer dieser ggT nichtkonstant, so ist f(x) reduzibel, sonst eben (wie hier) irreduzibel...

11.12.2012, 08:43

alcardaalanda

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Ah, alles klar, das ergibt Sinn.

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe. smile

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