Reihen Konvergenz

10.12.2012, 20:27

Lexi123

Reihen Konvergenz

Hi ich soll die Konvergenz dieser Reihe bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n+1)^{n} }{n^{n+1} } \end{eqnarray*}$

Allerdings liefert mir das Wurzel bzw. Quotientenkriterium keine aussage, weils grade 1 ist.

Kann ich einfach nach unten abschätzen, also:

$\begin{eqnarray*} | \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n+1)^{n} }{n^{n+1} } |\geq | \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{1}{n} | \end{eqnarray*}$

Nun handelt es sich um eine alternierende Reihe. Wegen dem Betrag mach ich die Reihe ja größer wenn alles negativ bzw. postiv ist.

Wie kann ich da weiter abschätzen ?

Mfg. Lexi smile smile

10.12.2012, 22:04

Mulder

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RE: Reihen Konvergenz
Vielleicht hilft ja schon

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} = \frac{1}{n} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n \end{eqnarray*}$

weiter. Da sollte man was wiedererkennen und geeignete Abschätzungen finden können.

10.12.2012, 22:32

Lexi123

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} = \frac{1}{n} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n \end{eqnarray*}$

Ja, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0, der rechte gegen e.
Also ist der rechte Term >= -e.

Würde aber immer noch nicht mein Problem mit dem (-1)^n lösen verwirrt

10.12.2012, 22:33

Mulder

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Leibniz-Kriterium!

10.12.2012, 22:42

Lexi123

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Ah sorry hatte ich vergessen zu erwähnen.

Mit Leibnitz hab ich bereits gesagt, dass der Term konvergiert.

Ich muss aber noch zeigen, dass er absolut bzw. nich absolut konvergiert.

Da das Wurzel und auch Quotientenkriterium (nicht verwunderlich nach Wurzel) den Wert 1 liefern, kann ich darüber leider keine Aussage machen.

Also muss ich noch eine Majorante oder Minorante finden um zu zeigen, dass die Reihe nich absolut konvergieren kann.

Ich gehe stark davon aus, dass sie nicht absolut konvergiert.

Lg. Lexi smile

10.12.2012, 22:47

Mulder

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RE: Reihen Konvergenz
Die Divergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n} \frac{1}{n} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n \end{eqnarray*}$

ist doch leicht zu zeigen. Man findet doch leicht eine divergente Minorante.

10.12.2012, 22:51

Lexi123

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Ja aber darf ich die (-1)^n einfach so weglassen ?

Ich habe immerhin die Beträge um die ganze Summe. Würde ich die Beträge um die Einzelnen Summanden machen, würde ich die Summe ja nach oben abschätzen oder vertu ich mich da ? verwirrt

10.12.2012, 23:11

Mulder

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Zitat:

Original von Lexi123
Ich habe immerhin die Beträge um die ganze Summe.

Es werden jeweils nur die Beträge der einzelnen Folgenglieder gebildet. Absolute Konvergenz.

11.12.2012, 08:44

Jello Biafra

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Um die gegebene Reihe hinsichtlich absoluter Konvergenz zu untersuchen, hast Du ja schon geeignete Hinweise erhalten.

Mit dem Leibniz-Kriterium kannst Du dann nachweisen, dass die Reihe somit bedingt konvergiert.

Zeige dazu, dass für $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq 1\text{ und }\lim_{n\to\infty} a_n=0. \end{eqnarray*}$

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