Sehnenviereck auf der Sphäre

10.12.2012, 21:31	Quann	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehnenviereck auf der Sphäre Hallo zusammen! Ich quäle mich gerade mit der folgenden (Einstiegs-)Aufgabe aus der sphärischen Geometrie: Zeige: In einem Sehnenviereck auf der Sphäre stimmen die Winkelsummen gegenüberliegender Winkel überein. Ich habe das Sehnenviereck in 4 gleichschenklige Dreiecke aufgeteilt; die Basiswinkel sind also bei allen Dreiecken gleich. Doch nun komme ich nicht weiter. Hat mir jemand einen Tipp? Danke!
11.12.2012, 00:46	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst nicht das Sehnenviereck im Kreis, sondern die Eckpunkte sollen auf der Oberfläche einer 3-dimensionalen Kugel liegen? Der Satz im Kreis ist einfach zu zeigen.
11.12.2012, 14:53	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll dies für ein Sehnenviereck in einem beliebigen Kreis auf der Sphäre gelten oder nur für solche in einem Großkreis? Mit "Sehnenviereck auf der Sphäre" meinst du vermutlich das Viereck, das aus den vier Teilabschnitten von vier Großkreisen gebildet werden, die sich in vier Punkten auf einem Kreis auf der Oberfläche der Sphäre schneiden, wobei die Teilabschnitte innerhalb des Kreises zwischen zwei Schnittpunkten liegen.
16.12.2012, 16:21	Quann	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank für die Antworten. Gemeint ist ein Sehnenviereck dessen Ecken sich auf einem beliebigen Kreis auf der Kugel befinden. Ich habe nun bemerkt, dass sich der Satz sehr einfach zeigen lässt, denn in einem Kugeldreieck liegen gleichen Seiten gleiche Winkel gegenüber. Im Prinzip kann man also einfach den Beweis "aus der Ebene" übernehmen Danke nochmals!!
16.12.2012, 17:01	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir da sicher? Ich denke, das ist nicht richtig, höchstens für Spezialfälle. Wenn du weiterhin deiner Meinung bist, dann präsentiere mal bitte den Beweis.
16.12.2012, 19:02	Quann	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt machst du mich gerade unsicher. Das Viereck lässt sich doch in 4 gleichschenklige sphärische Dreiecke einteilen (vgl. Grafik). Die Schenkellängen sind dabei nicht mit dem Radius des Kreises zu verwechseln. Die Aussage folgt dann durch "In einem Kugeldreieck liegen gleichen Seiten gleiche Winkel gegenüber.", woraus folgt, dass Basiswinkel auch in einem sphärischen Dreieck gleich gross sind.
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16.12.2012, 19:34	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber es geht doch gar nicht um diese Winkel, sondern um die Innenwinkel des Sehnenvierecks. Was du hier machst, ist ein Projektion der Großkreisabschnitte usw. in die Ebene des Kreises auf der Sphäre. Edit: Jetzt habe ich deine Konstruktion verstanden. Du nimmst einen 5. Punkt, der Schnittpunkt der Geraden, die senkrecht auf dem Kreis steht, mit der Sphäre und konstruierst mit diesem Punkt deine Kugeldreiecke. Da gehe ich dann doch d'accord. Sorry für die Irritationen.

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