Cauchyfolge - kurzes Feedback

10.12.2012, 21:35	Shimmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyfolge - kurzes Feedback Hallo allerseits! Wäre sehr nett, wenn ihr mir zu dem was ich fabriziert habe ein kurzes Feedback geben könntet! Es geht um die rekursive Folge $\begin{eqnarray} a_{0} = 1 ; a_{n+1} = \frac{1}{n!} + a_{n} \end{eqnarray}$ die gegen $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ konvergiert. Nun ist nachzuweisen, dass dies eine Cauchyfolge ist. Meine Idee: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ gegeben. Es gibt $\begin{eqnarray} n_{0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n_{0} > \frac{1}{\epsilon} \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} n_{0}! > n_{0} > \frac{1}{\epsilon} \Rightarrow \epsilon > \frac{1}{n_{0}!}. \end{eqnarray}$ . Weiter gilt $\begin{eqnarray} a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{n!} \Rightarrow a_{n+1} - a_{n}= \frac{1}{n!} \end{eqnarray}$ und somit: $\begin{eqnarray} \|a_{n+1} - a_{n}\| = \|\frac{1}{n!}\| \leq \frac{1}{n_{0}!} < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \quad \forall n \geq n_{0} \end{eqnarray}$ Reicht es denn in diesem Fall nur $\begin{eqnarray} \forall n\geq n_{\epsilon} \end{eqnarray}$ zu zeigen? Denn eigentlich heißt es ja: $\begin{eqnarray} \forall n\geq n_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \forall m\geq n_{0} \end{eqnarray}$ also für beliebige und nicht nur "für benachbarte"...? Oder ist das in diesem Fall äquivalent zueinander?
11.12.2012, 08:42	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchyfolge - kurzes Feedback Wie du schon richtig angemerkt hast muss es für beliebige $\begin{eqnarray} n, m \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gelten. Die Indizies müssen also unabhängig voneinander sein. Ihr hattet doch sicherlich diesen Satz, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist oder müsst ihr das explizit nachweisen? Gruß, Causal

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »