Umformung

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akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung
EDIT: boah, jetzt merke ich erst, dass QK falsch ist, ich dachte an euler formel^^. ich besser das ganze morgen aus^^


hi,

da bin ich wieder.
ich soll konvergenzradius bestimmen
ich habe mir folgende umformung überlegt



ich denke das stimmt.
hier habe ich da quotientenkriterium angewandt. sieht man denke ich mal am ersten term. der nenner ist hier die ausgangsreihe.
kann ich nun an der stelle sagen , dass meine gegebene reihe auf ganz R konvergiert?
was ist ein offener konvergenzkreis? der soll nämlich auch bestimmt werden

EDIT: boah, jetzt merke ich erst, dass QK falsch ist, ich dachte an euler formel^^. ich besser das ganze morgen aus^^
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gemäß üblicher Notations- bzw. Prioritätsregeln versteht man unter den Wert , und in diesem Lichte ist dein Ergebnis falsch. Bei korrekter Klammerung



ist die Umformung aber in der Tat richtig.


P.S.: Das Quotientenkriterium ist hier durchaus nicht "falsch", du musst nur aus dem Quotienten lesen können, für welche Konvergenz und für welche Divergenz der Reihe eintritt. Augenzwinkern
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

ist es dann egal ob ich
a_n+1/a_n oder a_n/a_n+1 anwende?

in meinem fall läuft der quotient immer gegen +-OO, abhänig davon ob das k gerade oder ungerade ist
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe hier ein beispiel, bei dem ich ein schritt nicht ganz verstehe.

es geht um folgende reihe.


so nun wird die euler formel angewandt.



das ist ja soweit so gut, aber ich hätte es mit dem x gemacht


man kann doch das x nicht einfachweglassen?
wie soll ich denn zB bei dieser reihe das x weglassen

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht schon wieder...
Es findet immer und immer wieder die folgende Verwechslung statt, anscheinend auch bei dir:

Einerseits gibt es Konvergenz- bzw. Divergenzkriterien für die Reihe .

Andererseits gibt es Formeln für den Konvergenzradius der Potenzreihe .


Natürlich ist das alles irgendwie miteinander verwandt, aber es ist doch bitte SAUBER zu beachten, was man jeweils irgendwie anwendet!!!


a) So ergibt das normale Quotientenkriterium angewandt auf beispielsweise mit dann den Quotienten

,

und wegen konvergiert die Reihe dann im Fall , und sie divergiert für (und auch für =1, was aber gesondert begründet werden muss).


b) Die gleiche Reihe als Potenzreihe betrachtet ergibt , d.h. dann von a) abweichend . Was du dann als Eulerformel bezeichnest (kenne ich zwar nicht unter dem Begriff, aber egal) ist vermutlich die Konvergenzradiusformel



die zutrifft, sofern dieser Grenzwert (ggfs. auch uneigentlich als ) existiert. Im Fall meines Beispiels von eben wäre das dann

.

----------------

Ganz egal, ob du Interpretationsvariante a) oder b) wählst, beides führt irgendwie zum Ziel. Aber bitte, bitte nicht eine dieser unseligen und leider mit verfluchter Regelmäßigkeit hier immer wieder aufschlagenden "Mischvarianten", die nur ins Chaos führen.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
danke für die antwort

du nennst zB die potreihe . solche beispiele sehe ich überall, aberwas ist wenn das x nicht so einfach hinzuschreiben ist? wenn das x_n = (x-a)^k. wie soll ich denn das handhaben
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ist eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0, die Überlegungen zum Konvergenzradius lassen sich aber vollständig auf die Potenzreihe mit beliebigem Entwicklungspunkt übertragen, insofern ist dieser dein Einwand gegenstandslos.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung
ok, dann nehmen wir mal diese reihe



dann ist




nach Konvergenzradiusformel:

stimmt das dann so? kanns mir fast nicht vorstellen.
wie berechne ich nun den "offenen konvergenzkreis" ? ist das vlt. ^^
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist der Koeffizient zur Potenzreihe . Er gehört weder zur Potenzreihe noch zu - die letzteren beiden sind übrigens keinesfalls gleich, es stimmt allenfalls

.

Falls es um diese letztere Reihe gehen sollte, dann hast du als -Konvergenzradius der Potenzreihe



den Wert berechnet, d.h., es liegt Konvergenz für und Divergenz für vor - soweit richtig.

Du interessierst dich doch aber für die Potenzreihe

,

da musst du den Konvergenzbereich entsprechend umrechnen: Der ist dann , umgestellt , entsprechendes gilt für den Divergenzbereich!
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

mal ganz allgemein

es gilt doch



so war das doch?

ah ne so wars



^^
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von akamanston
mal ganz allgemein

es gilt doch


Nein, eben nicht!!!

Es gilt zwar

,

aber zum letzten Mal: Unter versteht man die Klammerung , und das ist was anderes als . D.h., die Operation "Potenzieren" ist nicht assoziativ!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant ist in diesem Zusammenhang, dass z.B. Derive

x^a^b

ohne mit der Wimper zu zucken als



d.h., rechtsassoziativ interpretiert, während Maple hier einen Syntaxfehler meldet...

Wie es Mathematica hält, kann ich im Moment auf diesem Rechner leider nicht überprüfen, aber normalerweise sind die eher noch pingeliger als Maple... Big Laugh
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