Konvergenz von Reihen und Gegenbeispiele.

11.12.2012, 09:17

DusselDora

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Konvergenz von Reihen und Gegenbeispiele.

Meine Frage:
Kann es möglich sein das alle 4 Aufgabenteile nicht Funktionieren ? Bzw gibt es nen speziellen Weg oder ne Möglichkeit das nach zu prüfen ?

Meine Ideen:
Siehe a) da gehts doch aufjedenfall nicht ,denn a_n geht gegen 0 und (-1)^n *a_n soll divergent sein , was garnicht geht wenn a_n konvergent ist. Sehe ich das Richtig ? Bzw bin mir bei den andern nicht immer 100% sicher aber denke das die auch nicht gehn .... bitte um Hilfe/Ansätze smile

smile

lg Dora

11.12.2012, 09:38

Mazze

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Zitat:

Siehe a) da gehts doch aufjedenfall nicht ,denn a_n geht gegen 0 und (-1)^n *a_n soll divergent sein , was garnicht geht wenn a_n konvergent ist. Sehe ich das Richtig ?

Eine Voraussetzung für das Leibnizkriterium ist, dass die Folge monoton Fallend ist. Und die Bedingung $\begin{eqnarray*} a_n > 0 \end{eqnarray*}$ ist dazu nicht äquivalent. Tatsächlich kann man für a) eine solche Folge finden. Versuche mal eine Konstruktion mit konstanter Nullfolge und 1/n für bestimmte Indizes.

11.12.2012, 09:39

lgrizu

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RE: Konvergenz von Reihen und Gegenbeispiele.
Betrachten wir einmal die erste Aufgabe.

Dein Argument, dass die Reihe konvergent sein muss hinkt:

Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n= \begin{cases} \frac{2}{n}, \textrm{falls }n \textrm{ gerade}\\ \frac{4}{(n+1)^2} ,\textrm{falls } n \textrm{ ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Mit Sicherheit ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, der positive Teil der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^na_n \end{eqnarray*}$ ist eine harmonische Reihe, die ist divergent und der negative Teil ist die konvergente Reihe der reziproken Quadrate, insgesamt ist die Reihe also divergent, da es zwei Teilfolgen gibt, die unterschiedliche Grenzwerte besitzen.

Man könnte aber mit einer etwas unkritischen Betrachtung tatsächlich dazu kommen, dass a) konvergent sein muss nach Leibniz, allerdings fehlt das notwendige Kriterium der Monotonie, $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ muss monoton sein.

Was meinst du zu b) unter betrachtung des Leibniz Kriteriums?

11.12.2012, 12:57

DusselDora

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Danke für die schnelle Antwort smile

smile

Bei b) würde ich sagen , es ist nicht monotan fallend , weil ich für a_n sowas wie 1/n³ wählen müsste damit es größer 0 ist und keiner 1/n² , also wenn ich 1/n³ zb nehme , wäre es ne divengente Reihe ,da ich das 1/n³ ja mit (-1)^n multipliziere und Leibniz nicht funktioniert , sehe ich das richitg ? :/

11.12.2012, 13:37

lgrizu

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gehen wir bei b) einmal systematisch vor:

1.) ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge?

2.) Ist die Folge monoton fallend? hier sagst du, sie sei es nicht, die Begründung verstehe ich allerdings nicht.

11.12.2012, 13:50

DusselDora

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also wenn ich für a_n = 1/n² nehme , darf ich ja laut vorrausetzung, ist es eine Nullfolge und würde in der Reihe rauskommen für n=1 -> -1 , für n=2 -> -3/4 , für n=3 -> -0,861 , für n=4 -> -0,798, deshalb meinte ich , die Reihe sei nicht monotan fallend ... weiß halt nicht wirklich wie ich da sonst ran gehen soll :/

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11.12.2012, 13:58

lgrizu

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Die Reihe muss auch nicht monoton fallend sein.

Das Leibniz Kriterium besagt:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n \end{eqnarray*}$ ist konvergent, wenn $\begin{eqnarray*} a_n>0 \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist.

Eine alternierende Reihe kann von Natur aus nicht monoton sein, ist sie für gerade n größer als 0, so ist sie für ungerade n kleiner als 0 und umgekehrt.

Es ist also erst einmal $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu betrachten, nicht die Reihe an sich.

Und darauf beziehen sich meine Fragen:

1.) ist $\begin{eqnarray*} a_n<\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge?

2.) ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ monoton fallend?

Wie schaut die Begründung dafür aus?

11.12.2012, 14:03

Jello Biafra

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Bei b) musst Du eigentlich nur beachten, dass absolute Konvergenz die Konvergenz im gewöhnlichen Sinne impliziert.

11.12.2012, 14:10

DusselDora

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Ich würde sagen:

1) a_n ist eine Nullfolge , da 1/n² nullfolge ist und a_n kleiner ist , aber ungleich 0.

2) Monoton Fallend bedeutet doch , das sie immer um den selben "wert" fällt , das ist doch hier nicht der Fall ,also nein.

Sehe ich das Richtig ?

11.12.2012, 14:18

lgrizu

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Nein, das siehst du falsch.

Monton fallend bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_n \end{eqnarray*}$ für alle n, dabei muss $\begin{eqnarray*} a_n-a_{n+1} \end{eqnarray*}$ nicht konstant sein.

Also noch ein Versuch.....

11.12.2012, 14:40

DusselDora

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Danke , ich hatte irgendwie eine Falsche Definition von Monoton Fallend -.-
aber kla a_n+1 ist immer kleiner als a_n , also ist a_n monoton fallend , somit greift das Leibnizkreterium und es ist Konvergent , aber müsste dann die Multiplikation mit (-1)^n nicht auch konvergent sein ?

11.12.2012, 14:49

lgrizu

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Zitat:

Original von DusselDora
Danke , ich hatte irgendwie eine Falsche Definition von Monoton Fallend -.-
aber kla a_n+1 ist immer kleiner als a_n , also ist a_n monoton fallend , somit greift das Leibnizkreterium und es ist Konvergent

Die Folge $\begin{eqnarray*} 0 < a_n \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist eine monoton fallende Nullfolge, ja, also greift Leibniz, richtig, demnach ist $\begin{eqnarray*} \sum(-1)^na_n \end{eqnarray*}$ konvergent.

Die letzte Frage verstehe ich nicht:

Zitat:

Original von DusselDora
aber müsste dann die Multiplikation mit (-1)^n nicht auch konvergent sein ?

verwirrt

Was meinst du hiermit? Ob $\begin{eqnarray*} s_n=(-1)^na_n \end{eqnarray*}$ konvergent ist oder ob $\begin{eqnarray*} \sum(-1)^na_n \end{eqnarray*}$ konvergent ist?
Zweiteres wurde doch bereits mit Leibniz gezeigt, ersteres kann man zeigen, indem man $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ in zwei Teilfolgen zerlegt.

Bitte drück dich unmissverständlich aus!

11.12.2012, 14:53

DusselDora

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Entschuldigung für die Missverständliche Ausdrucksweise , aber habe es jetzt endlich verstanden , sorry auch das ich mich ziemlich doof angestellt habe :/ aber vielen vielen dank dafür ! smile

smile

11.12.2012, 14:56

lgrizu

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Okay, was hast du denn zu c) ?

11.12.2012, 14:57

HAL 9000

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Ähnlich wie Jello Biafra mit seinem kurzen, leider unbeachteten Beitrag frage ich mich allerdings, wohin das ganze jetzt laufen soll: Denn ein Beispiel für b) dürfte ja nicht zu finden sein. Und für einen Beweis dessen kann man ja mit Monotonie nix anfangen. verwirrt

verwirrt

11.12.2012, 15:00

lgrizu

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@ Hal:
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum(-1)^na_n \end{eqnarray*}$ ist konvergent nach Leibniz, das sollte doch ausreichen, oder nicht? verwirrt

verwirrt

11.12.2012, 15:02

Jello Biafra

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Nö, mit Leibniz kannst Du hier nicht folgern, da es sich bei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht notwendig um eine monotone Nullfolge handelt.

11.12.2012, 15:54

Nubler

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bei der b: betrag der reihe nach oben abschätzen

für c und d lassen sich beispiele finden

11.12.2012, 17:43

lgrizu

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Zitat:

Original von Jello Biafra
Nö, mit Leibniz kannst Du hier nicht folgern, da es sich bei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht notwendig um eine monotone Nullfolge handelt.

Jap, ist richtig, hab mich da irgendwie festgefressen....

11.12.2012, 23:25

DusselDora

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Geht dann für c) b_n = (-1)^n *1/n und c_n = 1/n

für d) c_n= n und b_n= (-2)^n ??

12.12.2012, 09:06

lgrizu

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Nein, bei der b) geht $\begin{eqnarray*} c_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ nicht, denn die harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist divergent, es soll aber $\begin{eqnarray*} \sum c_n \end{eqnarray*}$ konvergent sein.

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