Zeigen, dass kein lokales Minimum vorliegt

11.12.2012, 09:42	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass kein lokales Minimum vorliegt Guten Morgen zusammen. Gegeben sei folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R , f(x,y)=(x-y^2)(x-2y^2) \end{eqnarray}$ Ich soll zeigen, dass in $\begin{eqnarray} (0,0)^T \end{eqnarray}$ kein lokales Minimum vorliegt. Ich habe es zuerst mit $\begin{eqnarray} det(H(f)(0,0)^T) \end{eqnarray}$ versucht, aber die ist $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und das bringt mich nicht weiter. Weiter ist die Hessematrix lediglich positiv semidefinit, was mir auch nichts bringt. Dann habe ich mir betrachtet: $\begin{eqnarray} f(x,0) = x^2, f(0,y) = 2y^4 \end{eqnarray}$ , d.h., wenn überhaupt, liegt ein Minimum vor. Weiter ist $\begin{eqnarray} f(x,x) = 2x^4-3x^3+x^2 \end{eqnarray}$ . Ich habe gedacht, dass ich hierüber argumentieren könnte, denn im Intervall $\begin{eqnarray} (0.5,1) \end{eqnarray}$ nimmt die Funktion negative Werte an. Aber leider sehe ich auch da noch nicht die Lösung des Problems, weil es dann ja um $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ immer noch eine Umgebung gibt, in der die Funktion nur positive Werte annimmt. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich zeigen kann, dass kein lokales Minimum vorliegt? Bin mit meinem Latein ziemlich am Ende...^^ Vielen Dank schonmal!
11.12.2012, 09:55	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass kein lokales Minimum vorliegt Das Kriterium mit der Hesse Matrix kannst du bei Semidefinitheit vergessen, das führt zu nichts. Der Charakter der kritischen Stelle muss auf anderem Weg ermittelt werden. Hilfreich kann die Betrachtung einer $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ Umgebung um (0,0) sein.
11.12.2012, 10:50	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass kein lokales Minimum vorliegt $\begin{eqnarray} f(0,0)=0 \end{eqnarray}$ Aber deine Funktion läßt sich auch in die Form $\begin{eqnarray} f(x,y)=(x-\frac{3}{2}y^2)^2-\frac{y^4}{4} \end{eqnarray}$ bringen. Wählt man nun y beliebig und x so, dass der erste Term 0 wird, dann erhält man einen negativen Funktionswert.
11.12.2012, 11:24	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey ihr beiden. Vielen lieben Dank für eure Antworten. Zyko, das hat mir sehr weitergeholfen. Ich bin vorhin bei meinen Überlegungen noch auf Folgendes gestoßen: Betrachte $\begin{eqnarray} f(\frac{3}{2}x^2,x)=-\frac{1}{4} x^4 \end{eqnarray}$ , sodass die Funktion auch hier negative Werte annimmt (und offensichtlich läuft der Vektor $\begin{eqnarray} (\frac{3}{2}x^2,x \end{eqnarray}$ gegen den Nullvektor für x gegen 0.) Das sollte doch auch passen, oder?

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