Beweis Umfang und Flächeninhalt gleich bei Quadrat und Rechteck

11.12.2012, 10:22	Blublub88	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Umfang und Flächeninhalt gleich bei Quadrat und Rechteck Meine Frage: Hallo, ich möchte beweisen, dass ein Quadrat mit Flächeninhalt 16 und ein Rechteck mit Flächeninhalt 18 die einzigen (rechteckigen) Flächen (mit ganzzahligen Seitenlängen) sind, bei denen Umfang und Flächeninhalt gleich sind. Dazu stelle ich eine Gleichung auf, die diese Bedingung erfüllt und löse diese nach y resp. x auf. Soweit so gut. Allerdings haben wir den "Tipp" bekommen, dass wir nach Auflösen nach y, die rechte Seite mit x+2 erweitern sollen, sodass ich dann eine Summe aus einer Konstanten und einem Bruch habe, der nur noch im Nenner ein x enthält. Das bekomme ich nicht hin...bzw. ich habe eine mögliche Lösung, diese ist aber nicht mit der x+2-Erweiterung entstanden, und dies sollen wir aber so machen...Hier mal meine Ansätze: Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> 2y+2x=yx<br /> \Rightarrow 2x=yx-2y<br /> \Rightarrow 2x=y(x-2)<br /> \Rightarrow \frac{2x}{(x-2)}=y <br /> \end{eqnarray}$ Jetzt soll ich mit (x+2) erweitern: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{(2x)(x+2)}{(x-2)(x+2)}<br /> \Rightarrow \frac{2x^{2}+4x }{x^{2}-4 } <br /> \end{eqnarray}$ Aber ab hier komme ich nicht weiter, wie ich auf eine Konstante und einen Bruch komme, der nur im Nenner x enthält. Eine mögliche Lösung, die ich allerdings durch Ausprobieren ermittelt habe, wäre: $\begin{eqnarray} <br /> 2+\frac{4}{x-2} <br /> \end{eqnarray}$ Ich habe aber keine Ahnung, wie ich auf eine Gleichung dieser Art kommen könnte. Hat jemand einen Tipp, wie ich geschickt umstellen/kürzen oder so könnte? Vielen Dank!
11.12.2012, 11:05	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Umfang und Flächeninhalt gleich bei Quadrat und Rechteck Weitere Umformungen bringn dich nicht unbedingt weiter. Du musst schon hineinstecken, dass du nur ganzzahlige Lösungen suchst. Es muss offensichtlich gelten: $\begin{eqnarray} x,y \geq 3 \end{eqnarray}$ Damit kannst du aus der Gleichung $\begin{eqnarray} \frac {2x}{x-2}=y \end{eqnarray}$ folgern $\begin{eqnarray} \frac {2x}{x-2} \geq 3 \end{eqnarray}$ Das engt nach einer kleinen Umformung den Bereich der möglichen Werte für x auf einen kleinen endlichen Bereich ein, den man durchprobieren muss.
11.12.2012, 11:27	Blublub88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dann könnte ich Folgendes schlussfolgern, wenn x größer/gleich 3 sein muss $\begin{eqnarray} <br /> x=3 \Rightarrow \frac{2\cdot 3}{3-2}=6=y \Rightarrow U=18, A=18 <br /> <br /> x=4 \Rightarrow \frac{2\cdot 4}{4-2}=4=y \Rightarrow U=16, A=16<br /> <br /> x=5 \Rightarrow \frac{2\cdot 5}{5-2}=\frac{10}{3} =y \neq ganzzahlig<br /> <br /> x=6 \Rightarrow \frac{2\cdot 6}{6-2}=3 =y \Rightarrow U=18, A=18 \Rightarrow <br /> \end{eqnarray}$ entspricht dem ersten Fall Aber woher weiß ich, dass dies alle ganzzahligen Möglichkeiten sind? Und ein weiterer Punkt ist, dass ich für die Erweiterung mit $\begin{eqnarray} (x+2) \end{eqnarray}$ einen Punkt bekomme Sprich, ich würde schon noch gerne herausfinden, was sich unser Dozent mit diesem "Tipp" gedacht hat
11.12.2012, 11:36	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} \frac {2x}{x-2}\geq 3 \end{eqnarray}$ folgt doch $\begin{eqnarray} 2x \geq 3(x-2) \end{eqnarray}$ und daraus $\begin{eqnarray} x \leq 6 \end{eqnarray}$ Weshalb der Dozent meint, dass es durch Erweitern noch einfacher wird, kann ich dir nicht sagen.

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