Goniometrische Gleichung (Nullstelle) |
| 11.12.2012, 12:52 | Sunny02 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Goniometrische Gleichung (Nullstelle) Meine Frage: Zeigen Sie, dass es genau ein x gibt mit x sin x (1 + cos x) = 0 Als Tipp ist genannt das man das x durch 2t ersetzen soll. Meine Ideen: Wollte es soweit umformen bis ich für t ein Ergebnis bekomme. |
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| 11.12.2012, 13:41 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eigentlich ist der Übergang von x auf 2t nicht unbedingt nötig. Infolge des Satzes vom Nullprodukt kann jeder Faktor Null gesetzt und die in Frage kommenden Lösungen in dem Intervall überprüft werden. Dabei wird dann ebenso nur ein Wert in Frage kommen ... mY+ |
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| 11.12.2012, 14:30 | Sunny02 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Achso verstehe 
Danke! |
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| 11.12.2012, 15:01 | Sunny02 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Oh ich hatte mich auch vertan... Die Gleichung muss so sein: x sin x - ( 1+ cos (x))=0 |
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| 11.12.2012, 18:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ändert die Sachlage. Die Schwierigkeit liegt in dem Faktor t. Setze also für x = 2t ein; damit kann die rechte Seite in ein Produkt verwandelt werden. Für sin(2t) wende ein Additionstheorem an. Weil t = x/2 ist, ist der Definitionsbereich von t nunmehr das offene Intervall von 0 bis pi/2. So kann mittels Division (Ausklammerns) eine Lösung abgespalten werden, die nicht im Definitionsbereich liegt. Für die restliche Funktion ist der Nullstellensatz (Zwischenwertsatz) anzwenden. Dort ist f(0) = -1, am Ende des Intervalls (bei pi/2 "- 0", v. links, jedenfalls positiv) Da gezeigt werden soll, dass es in dem fraglichen Intervall nur eine (genau eine) Nullstelle gibt, muss noch gelten, dass im ganzen Intervall steigende Monotonie herrscht. Das ist dann sichergestellt, wenn die Ableitung dort durchwegs positiv ist. mY+ |
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| 12.12.2012, 16:43 | Sunny02 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke sehr!=) |
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