Epsilon-Delta-Kriterium Stetigkeit sin(1/x)

11.12.2012, 12:58

stish

Epsilon-Delta-Kriterium Stetigkeit sin(1/x)

Hallo,

ich soll mit dem Epsilon-Delta-Kriterium beweisen, dass
f(x) = sin(1/x) für x ungleich 0
und
f(x) = 0 für x = 0

an der stelle x0 = 0 nicht stetig ist, in dem man z.B. begründet, dass man zu $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ kein "passendes" $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ finden kann.

Ich bin ehrlichgesagt ziemlich planlos. Beweist man das direkt oder indirekt? Und muss ich mir ein Delta definieren oder allgemein halten? Ich nehme an, dass ich am Schluss irgendwie folgern muss, dass egal welches Delta man wählt, es nie "passt".
Aber wie gesagt, ich weiß schon nicht wie ich anfangen muss.

Danke schon mal im Vorraus!

11.12.2012, 13:36

RavenOnJ

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Du betrachtest eine $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} x=0 , U_\delta(0) \end{align*}$ und eine $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} f(0)=0 , V_\epsilon(0) \end{align*}$ , Die Funktion ist dann stetig, wenn du für beliebige $\begin{align*} \epsilon >0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} \delta >0 \end{align*}$ finden kannst, sodass für alle $\begin{align*} x\in U_\delta(0) \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} f(x)\in V_\epsilon(f(0)) \small\text{ , d.h. } |f(x) -f(0)| < \epsilon \end{align*}$

Wenn man jetzt $\begin{align*} \epsilon = 1/2 \end{align*}$ wählt, dann kann man zeigen, dass es für jedes $\begin{align*} \delta >0 \end{align*}$ Werte für $\begin{align*} x \end{align*}$ innerhalb von $\begin{align*} U_\delta(0) \end{align*}$ gibt, für die $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ nicht innerhalb dieser $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebung liegt, jede $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von x=0 hat also "Löcher", für die $\begin{align*} |f(x)-f(0)| \ge \epsilon \end{align*}$ ist.

Du musst also zeigen, dass es zu jedem $\begin{align*} \delta >0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} x\in U_\delta(0) \end{align*}$ gibt, für das $\begin{align*} |f(x)-f(0)| = |f(x)| \ge 1/2 \end{align*}$ gilt.

11.12.2012, 14:54

stish

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Verstehe ich das richtig, dass ich das x so definieren muss, dann dann eben gilt
$\begin{eqnarray*} \vert f(x) - f(0) \vert = f(x) > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

11.12.2012, 15:01

RavenOnJ

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Nein! Die $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebung liegt im Wertebereich, die $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung im Definitionsbereich. Das darfst du nicht vermischen! Es könnte ja auch sein, dass eine Abbildung zwischen verschiedenen Räumen definiert ist, da sollte das dann sonnenklar sein.

11.12.2012, 15:02

stish

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Oh da warst du mit dem Antworten wohl schneller, als ich mit dem löschen Augenzwinkern

11.12.2012, 15:03

RavenOnJ

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leider habe ich nicht den zitat-Button benutzt Augenzwinkern

. Deswegen ist jetzt unklar, worauf ich geantwortet habe. Ist aber OK, dass du über dein Geschriebenes lieber den Mantel des Schweigens geworfen hast. Big Laugh

11.12.2012, 15:12

RavenOnJ

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Zitat:

Original von stish
Verstehe ich das richtig, dass ich das x so definieren muss, dann dann eben gilt
$\begin{eqnarray*} \vert f(x) - f(0) \vert = f(x) > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Diemal mit Zitat Augenzwinkern

.

Du sollst nicht das x definieren, sondern du sollst für jedes $\begin{align*} \delta \end{align*}$ die Existenz eines $\begin{align*} x\in U_\delta(0) \end{align*}$ zeigen, für das $\begin{eqnarray*} \vert f(x) - f(0) \vert = f(x) > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gilt. Dies sollte relativ einfach möglich sein. Wenn du nämlich zeigen kannst, dass es für beliebige $\begin{align*} \delta \end{align*}$ immer ein solches x gibt, dann hast du die Unstetigkeit der Funktion im Punkt x=0 gezeigt.

11.12.2012, 15:25

stish

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Oh man, tut mir leid, ich versteh ja was du meinst, aber wie zeigt man das?

11.12.2012, 15:43

RavenOnJ

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na ja, du siehst doch vermutlich, dass $\begin{align*} \sin(1/x) \end{align*}$ immer schneller zwischen -1 und 1 schwankt, je näher x an 0 ist? Betrachte jetzt mal nur die Menge $\begin{align*} M_1 := \{x\in\mathbb{R}| sin(1/x) = 1\} \end{align*}$ und zeige, dass du für jedes $\begin{align*} \delta \end{align*}$ ein $\begin{align*} x\in U_\delta(0) \end{align*}$ auswählen kannst, das in $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ liegt.

11.12.2012, 17:02

stish

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Zitat:

Original von RavenOnJ
na ja, du siehst doch vermutlich, dass $\begin{align*} \sin(1/x) \end{align*}$ immer schneller zwischen -1 und 1 schwankt, je näher x an 0 ist?

Ja bis dahin versteh ichs noch, aber dann hörts schon wieder auf

11.12.2012, 17:14

RavenOnJ

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Die Menge $\begin{align*} M_1 := \{x\in\mathbb{R}| sin(1/x) = 1\} \end{align*}$ ist unklar? Sie hat einen Häufungspunkt bei x=0. Für alle

$\begin{eqnarray*} x\small\text{ mit }\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\Longrightarrow x = \frac{2}{(1+4k)\pi}, k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

gilt: $\begin{align*} sin(1/x) = 1 \end{align*}$ .

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