Konvergenzen von Reihen

11.12.2012, 14:50

notSogoodatmathe

Konvergenzen von Reihen

Wollte mal meine Aufgaben reinstellen, wäre nett wenn einer kurz rüberschaut und mir sagen kann ob es so in Ordnung ist.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

über das Quotientenkriterium kommt man dann zu

$\begin{eqnarray*} \frac{n^n}{(n+1)^n} < 1 \end{eqnarray*}$ also konvergent

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{777}}{92^n} \end{eqnarray*}$

Wurzelriterium

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{92^{\frac{n}{777}}} \end{eqnarray*}$ hier bin ich mir nicht ganz sicher. Aber da wir ja n gegen unendlich laufen lassen wird der Term ja irgendwann wieder < 1 und ist somit konvergent.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+4}{n^2+3n+1} \end{eqnarray*}$ die Aufgabe habe ich wie folgt gelöst.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \frac{1+4/n}{n+3+1/n} < \frac{1}{n} q \end{eqnarray*}$

dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} q \geq 1 \end{eqnarray*}$ das die Reihe divergiert.

Danke schonmal im voraus smile

11.12.2012, 14:59

klarsoweit

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RE: Konvergenzen von Reihen

Zitat:

Original von notSogoodatmathe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{777}}{92^n} \end{eqnarray*}$

Wurzelriterium

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{92^{\frac{n}{777}}} \end{eqnarray*}$ hier bin ich mir nicht ganz sicher.[/latex]

Wie bist du denn auf den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{92^{\frac{n}{777}}} \end{eqnarray*}$ gekommen? verwirrt

Zitat:

Original von notSogoodatmathe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+4}{n^2+3n+1} \end{eqnarray*}$ die Aufgabe habe ich wie folgt gelöst.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \frac{1+4/n}{n+3+1/n} < \frac{1}{n} q \end{eqnarray*}$

Auch hier kann ich die Umformung nicht nachvollziehen.

11.12.2012, 15:05

notSogoodatmathe

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hab einfach die 777te Wurzel gezogen. daher bin ich auf den Ausdruck gekommen.
Also wie gesagt das WK angewendet. Aber scheinbar falsch, sonst hätte man es ja nachvollziehen können.

Bei dem unteren Schritt habe ich den Term durch n geteilt. und dann das Majorantenkriterium benutzt, das in dem Fall eine divergente Reihe ist.

11.12.2012, 15:17

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Zitat:

Original von notSogoodatmathe
hab einfach die 777te Wurzel gezogen. daher bin ich auf den Ausdruck gekommen.

Und wo steht in dem Wurzelkriterium, daß man die 777te Wurzel ziehen soll? verwirrt

Zitat:

Original von notSogoodatmathe
Bei dem unteren Schritt habe ich den Term durch n geteilt. und dann das Majorantenkriterium benutzt, das in dem Fall eine divergente Reihe ist.

Also wenn du mit "geteilt" kürzen meinst, dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{n+4}{n^2+3n+1} = \frac{1+4/n}{n+3+1/n} \end{eqnarray*}$ . Und wie dann weiter?

Außerdem sollte dir klar sein, daß dir eine divergente Majorante gar nichts bringt.

11.12.2012, 15:32

notSogoodatmathe

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Dann würde ich die n-te Wurzel aus dem Term ziehen(was eigentlich auch das WK ist... -.-), wodurch ich dann auf
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{777/n}}{92} \end{eqnarray*}$ kommen würde.
Der Zähler würde dann für n -> unendlich gegen 0 gehen womit der Term wiederum kleiner 1 wäre. So besser?

Ja genau meinte kürzen :P Wenn die Möglichkeit mit der Majorante nichts bringt, müsste ich betrachten wie die Reihe sich für n-> unendlich verhält. Bzw müsste man doch eigentlich nur den teil mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+3} \end{eqnarray*}$ betrachten, bzw es darüber abschätzen. Aber wirklich weiter bringt mich das auch nicht, da wie du bereits erwähnt hattest eine Majorante nichts bringt.

Mein erster Gedanke war, es über die geometrische Reihe zu versuchen, deshalb hatte ich das q eingefügt und wollte darüber rangehen.

11.12.2012, 15:45

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Zitat:

Original von notSogoodatmathe
Dann würde ich die n-te Wurzel aus dem Term ziehen(was eigentlich auch das WK ist... -.-), wodurch ich dann auf
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{777/n}}{92} \end{eqnarray*}$ kommen würde.
Der Zähler würde dann für n -> unendlich gegen 0 gehen womit der Term wiederum kleiner 1 wäre. So besser?

Wir kommen der Sache näher, allerdings geht der Zähler nicht gegen Null. smile

Zitat:

Original von notSogoodatmathe
Mein erster Gedanke war, es über die geometrische Reihe zu versuchen, deshalb hatte ich das q eingefügt und wollte darüber rangehen.

Da in dem Term nicht mal ansatzweise was enthalten ist, was mit der geometrischen Reihe verwandt wäre, lassen wir mal den Gedanken fallen.

Ich würde da einfach mal brutal abschätzen: $\begin{eqnarray*} \frac{n+4}{n^2+3n+1} \geq \frac{n}{n^2+3n^2+n^2} \end{eqnarray*}$

Wie sieht nun das Konvergenzverhalten mit der rechten Seite als Summanden aus?

11.12.2012, 16:48

notSogoodatmathe

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nicht gegen 0, sondern gegen 1^^ ja hab mich da ein bisschen irreführen lassen. Also für n->unendlich 1/92

Also "brutal" Big Laugh

würde ich mal sagen das die Rechte Seite gegen 0 konvergiert für n -> unendlich. mmh....hab gerade auch nochmal in der VL nachgeschaut, weiß gerade nicht worauf du hinaus willst?! :/

Danke auf jeden Fall schonmal für die Geduld und die Hilfe smile

12.12.2012, 09:26

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Worauf ich hinaus will, daß du mir etwas über das Konvergenzverhalten von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+3n^2+n^2} \end{eqnarray*}$

sagen kannst. Wenn du noch den Summationsterm etwas vereinfachst, läßt sich da bestimmt eher was erkennen.

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