Werte von Reihen

11.12.2012, 14:50

Annkatrinn

Werte von Reihen

Meine Frage:
Was genau sind die Werte von Reihen ?

Meine Ideen:
wenn ich a) weiter führe -1/3 +1/9 -1/27 +1/81 -1/243 +1/729 , sehe ich das die Minuswerte immer größer bzw kleiner der pluswerte sind , somit müsste die Reihe von -1 zu 0 konvergieren und ich könnte 2 Summen für jeweils + und - werte schreiben , jedoch was genau ist gemeint mit Werte von Reihen ?

lg Annkatrinn

11.12.2012, 15:03

klarsoweit

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RE: Werte von Reihen

Zitat:

Original von Annkatrinn
Meine Frage:
Was genau sind die Werte von Reihen ?

Das ist eben der Wert der jeweiligen Reihe bzw. unendlichen Summe.

Hast vielleicht schon mal was von der geometrischen Reihe sowie ihrem Reihenwert gehört? Wenn ja, wäre das gut, denn das brauchst du für Aufgabe a.

11.12.2012, 23:46

Annkatrinn

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laut wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe, ist der Wert der Geometrischen Reihe 1 , ist also auch der Wert von a) 1 .... bzw von c) ist der Wert 0 und bei d) ist es ne Teleskopsumme mit Wert -1-1/m² , stimmen die 3 bisher ? und wie geh ich bei b) vor , das i verwirrt mich irgendwie :/

12.12.2012, 08:00

Iorek

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Zitat:

Original von Annkatrinn
laut wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe, ist der Wert der Geometrischen Reihe 1

Ich weiß nicht, welchen Wikipediaartikel du gelesen hast, aber weder auf Wikipedia noch sonst wo wirst du finden, dass eine geometrische Reihe stets den Wert 1 hat.

12.12.2012, 09:02

Annkatrinn

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Sorry für die blöde ausdrucksweise , ich meinte wenn ich das dortige anwende und richtig verstehe , dann kommt bei a) bei mir als Wert 1 raus , ist das denn richtig ? smile

12.12.2012, 09:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von Annkatrinn
laut wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe, ist der Wert der Geometrischen Reihe 1 , ist also auch der Wert von a) 1 .... bzw von c) ist der Wert 0 und bei d) ist es ne Teleskopsumme mit Wert -1-1/m² , stimmen die 3 bisher ? und wie geh ich bei b) vor , das i verwirrt mich irgendwie :/

Machen wir ein paar simple Checks (die dir auch in den Sinn kommen könnten):

Bei a klammern wir mal so: $\begin{eqnarray*} (-\frac 1 3 + \frac 1 9) + (-\frac{1}{27} + \frac{1}{81}) + ... \end{eqnarray*}$

Wie man leicht sieht, sind die Ausdrücke in den Klammern immer negativ, so daß insgesamt ein negatives Ergebnis rauskommen muß.

Bei c und d sind die Summanden immer größer Null, so daß bei der Reihe nicht Null oder was Negatives rauskommen kann.

Bei b ist das i vermutlich die imaginäre Zahl i. smile

12.12.2012, 14:01

Hellsing91

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Bei Aufgabe c) und d) musst du die Teleskopsumme verwenden, bzw. eine solche erzeugen.

Ich hoffe du interessiert dich immer noch für die Lösung, auch wenn die Übungsblätter heute abgegeben werde nicht wahr Augenzwinkern

Wie du bei a) auf den Wert 1 kommst ist mir schleierhaft. Ich mache dir a) mal als Beispiel vor:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^N (\frac{1}{3})^k \end{eqnarray*}$

Nun sieht man ganz leicht, das $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{3}|<1 \end{eqnarray*}$ . Also dürfen wir die Geometrische Reihe verwenden.

Das bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{1}{3})^k = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das selbe Prinzip kannst du nun, bei Aufgabe b) anwenden.

Bei Aufgabe c) und d) musst du wie gesagt eine Teleskopsumme erzeugen.

Mfg. Hellsing Augenzwinkern

12.12.2012, 17:18

Hellsing91

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^N (\frac{1}{3})^k \end{eqnarray*}$ Nun sieht man ganz leicht, das $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{3}|<1 \end{eqnarray*}$ . Also dürfen wir die Geometrische Reihe verwenden. Das bedeutet: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{1}{3})^k = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das ist natürlich falsch den die Reihe muss bei k=0 losgehen. Sorry mein Fehler:

Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{3})^k = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

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