Grenzwert

12.02.2007, 10:35

Cru

Grenzwert

Hab mal wieder ein Grenzwert den ich nicht sehe!
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{12n!}{6n^{n}} \end{eqnarray*}$ das ganze soll wieder gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen!
Hab keine Idee wie ich vorgehen soll!

12.02.2007, 11:10

klarsoweit

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Cru
das ganze soll wieder gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen!

Wie kommst du darauf? verwirrt

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

12.02.2007, 11:24

Cru

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
das ganze soll wieder gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen!

Wie kommst du darauf? verwirrt

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Keine Ahnung! Die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und ermitteln Sie ggf. den Grenzwert.
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{12n!}{6n^{n}} \end{eqnarray*}$
Denke mal das wir
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{12n!}{6n^{n}} \end{eqnarray*}$
betrachten müssen!
Also so hab ich es imm er gemacht!

12.02.2007, 13:04

klarsoweit

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Cru
das ganze

deutsche Sprache, schwere Sprache.

Du meinst mit "das ganze", daß n gegen unendlich gehen soll. Ich verstehe unter "das ganze", daß eben das ganze, also, a_n gegen unendlich gehen soll. Augenzwinkern

Mein Tipp bleibt trotzdem gültig.

12.02.2007, 13:12

Cru

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
das ganze

Mein Tipp bleibt trotzdem gültig.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{12n!}{6n^{n}} = 0 \end{eqnarray*}$
weil der Nenner schneller wächst als der Zahler! Sonst hab ich echt keine Idee wie ich das lösen sollte! Wenn das stimmt, kann man das irgendwie umformen, dass man es besser sieht?

12.02.2007, 13:15

Cordovan

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RE: Grenzwert
Gruße!
Überleg dir doch einfach die Definition der Fakultät und des Nenners:
$\begin{eqnarray*} n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^n=n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot\ldots\cdot n \end{eqnarray*}$ . Beides sind n Faktoren.

Cordovan

12.02.2007, 13:54

klarsoweit

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{12n!}{6n^{n}} = 0 \end{eqnarray*}$
weil der Nenner schneller wächst als der Zahler!

Der Grenzwert stimmt, allerdings ist die Begründung schlecht.

Hast du dir was zu meinem Tipp überlegt?

12.02.2007, 15:26

WebFritzi

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Kleiner Tipp:
$\begin{eqnarray*} \frac{n-k}{n} < 1 \;\text{ für }\; k\in\mathbb{N}. \end{eqnarray*}$

12.02.2007, 16:21

Hanker

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Cru
Hab mal wieder ein Grenzwert den ich nicht sehe!
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{12n!}{6n^{n}} \end{eqnarray*}$ das ganze soll wieder gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen!
Hab keine Idee wie ich vorgehen soll!

Alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sind positiv.
Und außerdem kannst Du leicht zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\longrightarrow \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e}<1 \end{eqnarray*}$
Dann überleg Dir mal was Du daraus (mittels Quotientenkriterium) hinsichtlich des Konvergenzverhaltens von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ folgern kannst.

12.02.2007, 16:26

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Ich frage mich gerade, aus welchem Grund man $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{12n!}{6n^n} \end{eqnarray*}$ schreibt statt gleich gekürzt $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ . Wenn da am Ende nicht doch jemand die Klammern vergessen hat und eigentlich was ganz anderes meint... verwirrt

13.02.2007, 08:14

Cru

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich frage mich gerade, aus welchem Grund man $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{12n!}{6n^n} \end{eqnarray*}$ schreibt statt gleich gekürzt $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ . Wenn da am Ende nicht doch jemand die Klammern vergessen hat und eigentlich was ganz anderes meint... verwirrt

Die Aufgabe ist auf jeden Fall richtig.... Freude

Zitat:

Original von Hanker
Dann überleg Dir mal was Du daraus (mittels Quotientenkriterium) hinsichtlich des Konvergenzverhaltens von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ folgern kannst.

Also ich bin nicht so gut im Stoff das ich mir etwas über das Konvergenzverhaltens von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ (mittels Quotientenkriterium) überlegen kann! Hammer

Zitat:

Original von klarsoweit
Der Grenzwert stimmt, allerdings ist die Begründung schlecht.

Hast du dir was zu meinem Tipp überlegt?

Hab keine Idee! Sorry.... verwirrt

13.02.2007, 08:29

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Also wird sind uns einig, daß es um $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{12n!}{6n^{n}} = \frac{12 \cdot (n!)}{6 \cdot (n^{n})} = \frac{2 \cdot (n!)}{n^{n}} \end{eqnarray*}$ geht? (Warum hat man dann die 12/6 nicht gleich gekürzt?)

Die Frage ist auch nicht, wie gut du in dem Stoff bist, sondern ob ihr Reihen und Konvergenzkriterien hattet und ob du das deswegen können müßtest? Augenzwinkern

13.02.2007, 08:36

Cru

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von klarsoweit
Also wird sind uns einig, daß es um $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{12n!}{6n^{n}} = \frac{12 \cdot (n!)}{6 \cdot (n^{n})} = \frac{2 \cdot (n!)}{n^{n}} \end{eqnarray*}$ geht? (Warum hat man dann die 12/6 nicht gleich gekürzt?)

Die Frage ist auch nicht, wie gut du in dem Stoff bist, sondern ob ihr Reihen und Konvergenzkriterien hattet und ob du das deswegen können müßtest? Augenzwinkern

Die Aufgabe ist Richtig! Es handelt sich um eine Klausuraufgabe, und ich weiss nicht, warum sie nicht gekürzt ist!

Also wir haben Reihen und Konvergenzkriterien besprochen! Und ich sollte das wohl alles wissen! unglücklich

13.02.2007, 08:48

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Dann ist für mich die Anwendung des Quotientenkriteriums nach wie vor das geeignete (und auch schnellste) Mittel, um die Konvergenz der Folge gegen Null zu zeigen.

13.02.2007, 15:00

Cru

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$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\ = \frac{\frac{(6n+6)!}{n+1^{n+1}}}{ \frac{6n!}{n^{n}}} = \frac{(6n+6)!\cdot {n^{n}}}{n+1^{n+1}\cdot 6n!} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig mit dem Quotientenkriterium? Und nun?

13.02.2007, 15:03

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Wo kommt denn jetzt auf einmal das $\begin{eqnarray*} (6n+6)! \end{eqnarray*}$ her? Oben hattest du noch ausdrücklich und mehrfach darauf beharrt, dass keine Klammer vergessen wurde. Und nun rechnest du plötzlich mit $\begin{eqnarray*} (6(n+1))! \end{eqnarray*}$ statt mit $\begin{eqnarray*} 6\cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$ , das verstehe wer will... unglücklich

13.02.2007, 15:11

Cru

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Wo kommt denn jetzt auf einmal das $\begin{eqnarray*} (6n+6)! \end{eqnarray*}$ her? Oben hattest du noch ausdrücklich und mehrfach darauf beharrt, dass keine Klammer vergessen wurde. Und nun rechnest du plötzlich mit $\begin{eqnarray*} (6(n+1))! \end{eqnarray*}$ statt mit $\begin{eqnarray*} 6\cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$ , das verstehe wer will... unglücklich

Ehrlich gesagt, weiss ich garnicht was ich hier mache?
Ich weiss ja nicht, wie ich was wo reinziehen kann!

13.02.2007, 15:24

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Also gut, dann war das ein "Unfall". Nein, im Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2n!}{n^n}} \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)\cdot n! \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann kräftig kürzen...

Ich würde es allerdings ganz anders machen, nicht über Quotient(enkriterium): Für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist doch

$\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots (n-1)\cdot n \leq 1\cdot n\cdot n\cdot \ldots \cdot n\cdot n = n^{n-1} \end{eqnarray*}$ ,

demnach folgt

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2n!}{n^n} \leq \frac{2n^{n-1}}{n^n} = \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ ,

ist oben auch schon mal durch die Blume von WebFritzi angesprochen worden. Augenzwinkern

01.03.2007, 19:34

SilverBullet

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Mache ich hier was falsch ?

$\begin{eqnarray*} \frac {2 \cdot (n+1)! \cdot n^n} {(n+1)^{n+1} \cdot 2 \cdot n!} = \frac {(n+1) \cdot n^n }{(n+1)^{n+1} } = \frac {n^n} {(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

01.03.2007, 19:56

WebFritzi

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Nö. Und was ist der Grenzwert? Lehrer

01.03.2007, 20:37

SilverBullet

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Hmm da hab ich nun ein Problem hab zwei Möglichkeiten entweder beide falsch oder nur eine richtig :

1.Möglichkeit mit lim n gegen unendlich folgt :
$\begin{eqnarray*} \frac {n^n} {n \cdot (1 + 1/n)^n}=n^{n-1} \cdot \frac 1 e \end{eqnarray*}$

2. Möglichkeit : Für lim n gegen unendlich :

$\begin{eqnarray*} \frac {n^n} { (n + 1)^n} = (\frac {n}{n+1})^n = (\frac {1} {1+ \frac 1 n })^n = \frac 1 e \end{eqnarray*}$

Also ich glaub ja eher an die 2 Möglichkeit. Aber geht es nicht auch mit der ersten Möglichkeit ? Hab ich da was vergessen ? Warum kommt nicht der selbe Grenzwert raus ?

01.03.2007, 20:39

kiste

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Falsch ausgeklammert.
$\begin{eqnarray*} 10^2 \neq 5\cdot 2^2 \end{eqnarray*}$
sondern
$\begin{eqnarray*} 10^2 = 5^2\cdot 2^2 \end{eqnarray*}$
Und dann kommt auch beides mal 1/e raus

01.03.2007, 20:39

therisen

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2) stimmt, 1) ist in so fern Quatsch, als dass nach dem Grenzübergang(?) noch ein n vorhanden ist.

01.03.2007, 22:40

SilverBullet

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Alles klar habs kappiert Big Laugh

Ich danke euch Wink

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Grenzwert

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