Beweisen f ist konstant

11.12.2012, 18:30

DarthVader

Beweisen f ist konstant

nAbend,

hänge immer noch an zwei Aufgaben meines Diff-Zettels. Hier mein Problem:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion, die für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ die folgende Bedingung erfüllt:
$\begin{eqnarray*} |f(x+h)-f(x-h) |<h^2 \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie, dass f konstant ist.

Meine Ideen:
Eine konstante Funktion hat die Form f(x)=c für alle x aus IR. Die Ableitung ist dann f'(x)=0. Ich müsste mir das also so hinbasteln, dass ich auf diese Ableitung komme...oder? (Vielleicht mit h:=x-x_0)

Vielen Dank schon mal für eure tolle Hilfe.

11.12.2012, 19:08

mYthos

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Versuche es mal mit

f(x + h) - f(x - h) = f(x + h) - f(x) + f(x) - f(x - h)

Es ist ja egal, ob der Grenzwert von x+h nach x oder von x-h nach x gemacht wird.
Was mich nur ein wenig stört, ist das < - Zeichen bei h². Steht dort nicht auch noch ein Gleichheitszeichen? Andererseits ist h ja immer positv, erst bei dem Grenzübergang geht es gegen Null.

mY+

11.12.2012, 19:25

DarthVader

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Danke für Deine Antwort:

Du hast mit 0=f(x)-f(x) erweitert. Für mich erschließt sich die Idee dahinter jedoch (noch) nicht...was mich auch noch verwirrt, ist das $\begin{eqnarray*} h^2 \end{eqnarray*}$ . Bedeutet das, dass unter den gegebenen Bedingungen nicht für nur h gilt? Wäre es nicht ratsamer mit einer geschickten Definition von h zu arbeiten?

Eine ganz andere Idee wäre auch, es mittels eines Widerspruchbeweises anzugehen: Angenommen f wäre nicht konstant und damit $\begin{eqnarray*} f'(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann würden die Gleichung nicht gelten, im Widerspruch zur Voraussetzung...

11.12.2012, 19:29

tmo

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Zitat:

Original von DarthVader
Eine ganz andere Idee wäre auch, es mittels eines Widerspruchbeweises anzugehen: Angenommen f wäre nicht konstant und damit $\begin{eqnarray*} f'(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann würden die Gleichung nicht gelten, im Widerspruch zur Voraussetzung...

Ne, so geht das nicht, da du nicht gegeben hast, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ diffbar ist.

Setzt man in obiger Ungleichung $\begin{eqnarray*} x+\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ in die Rolle von x und $\begin{eqnarray*} \frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ in die Rolle von h, so hat man doch

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right| < \frac{h}{4} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt im Wesentlichen die Behauptung.

11.12.2012, 19:40

DarthVader

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Ok. Vielleicht eine doofe Frage aber wieso darf man das hier:

$\begin{eqnarray*} x=x+\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h=\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun den Grenzwert für h gegen unendlich betrachte folgt dann:
0<unendlich was ja schon mal richtig aussieht, aber das zeigt doch nicht, dass daraus f(x)=c folgt.

irgendwie stehe ich auf dem schlauch...

11.12.2012, 23:31

mYthos

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h geht NICHT gegen Unendlich!
_______________

Ich hatte bei

f(x + h) - f(x - h) = f(x + h) - f(x) + f(x) - f(x - h)

im Sinn:

|(f(x + h) - f(x))/h + (f(x) - f(x - h))/h| < h

Aber du kannst den Ansatz von tmo nehmen ...

12.12.2012, 00:48

DarthVader

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Hallo mYthos,

warum sollte ich nicht h gegen Unendlich streben lassen dürfen...nur weil das in der Definition der Differentialquotienten vorkommt, heißt das doch nicht, dass es mit unserem h übereinstimmt. Und da nach Voraussetzung für alle h>0 gilt, halte ich das durchaus für machbar...oder habe ich da einen dicken Denkfehler.

Ich verstehe bei deiner Vorgehensweise immer noch nicht die Idee, die sich dahinter verbirgt. Da ich nicht folgern kann, wie das dazu führt, dass f konstant sein muss.

Bei tmo's Herangehensweise bleibt mir das oben bereits gefragte ein Rätsel.

12.12.2012, 10:16

Jello Biafra

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Zitat:

Original von DarthVader
warum sollte ich nicht h gegen Unendlich streben lassen dürfen...nur weil das in der Definition der Differentialquotienten vorkommt, heißt das doch nicht, dass es mit unserem h übereinstimmt. Und da nach Voraussetzung für alle h>0 gilt, halte ich das durchaus für machbar...oder habe ich da einen dicken Denkfehler.

Natürlich darfst Du h gegen Unendlich streben lassen. Von mir aus auch gegen -Unendlich oder was auch immer...
Nur bringen wird Dir das rein gar nichts.
Versuch doch mal Dich auf die Vorschläge einzulassen.

Zitat:

Original von DarthVader
Ich verstehe bei deiner Vorgehensweise immer noch nicht die Idee, die sich dahinter verbirgt. Da ich nicht folgern kann, wie das dazu führt, dass f konstant sein muss.

Bei tmo's Herangehensweise bleibt mir das oben bereits gefragte ein Rätsel.

Egal welchem Ansatz Du folgst - letztendlich geht es doch darum zu folgern, dass

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \text{ für alle }x\in\mathbb R. \end{eqnarray*}$

Dieses Ziel solltest Du bei Deinen Überlegungen nicht aus den Augen verlieren.

Übrigens wird die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in der Aufgabenstellung nicht explizit vorausgesetzt weil sie implizit in der vorgegebenen Ungleichung enthalten ist.

12.12.2012, 10:39

DarthVader

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Alles klar. Ich muss gleich noch in die Vorlesung. Werde mich danach daran setzen und anchließend meine Überlegungen hier posten.

Vielen Danke für deine bzw. eure Hilfe

12.12.2012, 14:31

DarthVader

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Ich habe jetzt mal mYthos seinen Ansatz verfolgt. Mit Der Dreiecksungleichung und für h gegen 0 habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} | + \lim_{h \to 0} |\frac{f(x)-f(x-h)}{h} |<h \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} |f'(x)|-|f'(x)|<h \leftrightarrow 0<h \end{eqnarray*}$

Ich glaube aber, ich habe irgendwo einen Fehler drin...

Edit:
Ich habe die Beträge falsch behandelt! Meine Folgerung von oben ist also falsch!

14.12.2012, 00:51

mYthos

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Die beiden Grenzwerte werden gleich, denn beides ist analog, wenn der Grenzwert von x+h nach x oder von x-h nach x gemacht wird. Daher kommt anstatt des Minus ein Plus. So ist

2 |f '(x)| --> 0 --> f '(x) = 0 --> f(x) = c

14.12.2012, 14:20

DarthVader

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Hey vielen Dank mYthos, dass du noch mal geschrieben hast und vielen Dank für die tolle Hilfe =)

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