Anfangswertproblem (needs help)

11.12.2012, 19:00

Theend9219

Anfangswertproblem (needs help)

AWP gegeben :

$\begin{eqnarray*} x'(t) = tx^2(t) , x(t_{0} ) = x_{0} \end{eqnarray*}$

Also ich weiß, dass der Anfangspunkt geschrieben werden kann als $\begin{eqnarray*} t_{0} = (t_{01}, ... , t_{0n}) \end{eqnarray*}$
nun weiß ich aber nicht weiter .. Ich weiß nicht wie ich anfangen soll .. kann mir jemand einen stubser geben ?

LG

11.12.2012, 19:06

Theend9219

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RE: AWP lösen
Also ich glaube es ist erste Ordnung nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen .. bin mir aber nicht sicher ... Mich irritiert dieses t ..

11.12.2012, 19:09

Cel

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RE: AWP lösen

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} t_{0} = (t_{01}, ... , t_{0n}) \end{eqnarray*}$

Was soll das heißen? Es ist $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wieso also was mehrdimensionales ...

11.12.2012, 19:10

Theend9219

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RE: AWP lösen
weis ich auch nicht ..du hast recht

11.12.2012, 23:43

Cel

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Dann probiere doch mal Trennung der Veränderlichen. Augenzwinkern

12.12.2012, 17:21

Theend9219

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Okay dann würd ich sagen

$\begin{eqnarray*} \frac{dx(t)}{dt} = tx^2 (t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{dx(t)}{dt}}{x^2(t)} = t \end{eqnarray*}$
und nun die jeweiligen Integrale bilden... so?

$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^t \! \frac{\frac{dx(t)}{dt}}{x(t)^2} \, dt = \int_{t_0}^{t} \! t^2 \, dt \end{eqnarray*}$

die Lösung der rechten Seite ist offenbar
$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^{t} \! t^2 \, dt = \frac{t^2}{2} - \frac{t_{0}^2}{2} = \frac{1}{2} (t^2-t_{0}^2) \end{eqnarray*}$

Und die linke Seite ist : $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x(t)} = -\frac{1}{x(t)} + \frac{1}{x(t_{0})} \end{eqnarray*}$ also die Differenz von oberer und unterer Grenze. Ist das bisher so korrekt?
Ich weiß nicht ob das mit dem Intervallgrenzen $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ immer stimmt ..

12.12.2012, 18:58

Theend9219

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Falls es richtig sein sollte (:-)) kann mir jemand bei der Gleichung helfen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(t^2 -t_{0}^2) = -\frac{1}{x(t)} +\frac{1}{x(t_{0})} \end{eqnarray*}$

13.12.2012, 14:53

Cel

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Das ist nicht richtig ... Wieso hast du da zwei mal ein dx und dt stehen? DIe Logik ist, von der Gleichung

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} \frac{dx(t)}{dt} = tx^2 (t) \end{eqnarray*}$

auf etwas wie

$\begin{eqnarray*} \int \dots \dd t = \int \dots \dd x \end{eqnarray*}$

zu kommen - wobei unter dem linken Integral nur eine Abhängigkeit von x besteht, rechts eine von t.

Hier wird es gut erklärt - nur ist das y dort hier ein x und das x dort hier ein t.

Mach es erst mal als DGL ohne Anfangwert - ohne Grenzen im Integral.

13.12.2012, 16:08

Theend9219

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Dankeschöön für deine Antwort ich hab deinen Rat mal befolgt

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{x^2} \, = \int \! t \, dt \end{eqnarray*}$

Und die Lösung ist :

$\begin{eqnarray*} x = \frac{-1}{\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{x_0}+\frac{1}{2} t_{0}^2} \end{eqnarray*}$

Kann mir nun vielleicht jemand sagen, wie ich das maximale Existenzintervall berechne ?

13.12.2012, 16:32

Cel

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Zitat:

Original von Theend9219
Und die Lösung ist :

$\begin{eqnarray*} x = \frac{-1}{\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{x_0}+\frac{1}{2} t_{0}^2} \end{eqnarray*}$

Fast. Wenn ich $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ einsetze, addieren sich die beiden $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ - Terme. Aber nur ein Vorzeichenfehler. Oder du hast eine Klammer vergessen.

Zitat:

Original von Theend9219
Kann mir nun vielleicht jemand sagen, wie ich das maximale Existenzintervall berechne ?

Könnte ich auch machen. Augenzwinkern

Für welche $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist die Lösung definiert?

13.12.2012, 16:51

Theend9219

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dann vielleicht
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\frac{1}{2}t^2 -\frac{1}{2} t_{0}^2+\frac{1}{x(t_{0})}} \end{eqnarray*}$

?

also t darf nicht 0 sein hihi sonst wird der Nenner 0. oder?=

13.12.2012, 17:13

Theend9219

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So hatte ich gerechnet

$\begin{eqnarray*} x'=x^2*t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{x^2} = t dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{x^2} \, = \int \! t \, dt \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x} = \frac{1}{2} t^2 + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{-1}{\frac{1}{2} t^2 + C} \end{eqnarray*}$
Dies nun einsetzen in das Anfangswertproblem

$\begin{eqnarray*} x(t_{0}) = \frac{-1}{\frac{1}{2} t_{0}^2 + C} = x_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{x_{0}} = \frac{1}{2} t_{0}^2 + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C = \frac{-1}{x_{0}} - \frac{1}{2} t_{0}^2 \end{eqnarray*}$
Es folgt also :
$\begin{eqnarray*} <br /> x=\frac{-1}{-\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{2} t_{0}^2} \end{eqnarray*}$

13.12.2012, 21:46

Cel

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Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} x = \frac{-1}{\frac{1}{2} t^2 + C} \end{eqnarray*}$

Das stimmt ...

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} C = \frac{-1}{x_{0}} - \frac{1}{2} t_{0}^2 \end{eqnarray*}$

... das auch.

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} <br /> x=\frac{-1}{-\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{2} t_{0}^2} \end{eqnarray*}$

Das nicht mehr. Du musst schon richtig einsetzen. Augenzwinkern

Und t darf Null werden. $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist sowieso ungleich Null, also ist das kein Problem. Setz den Nenner mal = 0.

13.12.2012, 22:49

Theend9219

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daaaaaanke ich sehe den fehler ..

hab den nenner mal null gesetzt und umgestellt und erhalte

$\begin{eqnarray*} x_{0}= \frac{2}{t^2-(t_{0})^2} \end{eqnarray*}$

und nun?

15.12.2012, 17:04

Cel

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Puh, ... das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wird dir als Wert vor die Füße geworfen.

Du musst es bezüglich t = Null setzen. Das ist doch die abhängige Variable.

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