Bedingung für linear unabhängig

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11.12.2012, 21:17	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingung für linear unabhängig Meine Frage: Hallo Leute. Ich sitze an folgender Aufgabe. Geben Sie eine notwendige und eine hinreichende Bedingung an K dafür an, dass $\begin{eqnarray} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end {pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ im K-Vektorraum $\begin{eqnarray} K^{3} \end{eqnarray}$ linear unabhängig ist. Meine Ideen: Also ich weiß das linear unabhängig bedeutet wenn aus $\begin{eqnarray} \lambda _{1} a_{1} + ... +\lambda _{n} a_{n}=0 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \lambda _{1}=...=\lambda _{n}=0 \end{eqnarray}$ . Bedeutet für die Aufgabe: $\begin{eqnarray} \lambda _{1}1+\lambda _{2}1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda _{1}1+\lambda _{3}1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda _{2}1+\lambda _{3}1=0 \end{eqnarray}$ . Das kann man jetzt noch auflösen ... ist nicht das Problem. Was ich aber nicht verstehe, was das für Bedingungen sein sollen. Bzw. was mit hinreichender und notwendiger Bedingugng gemeint ist. Wäre nett, wenn mir da jemand weiter helfen könnte. Danke.
11.12.2012, 22:10	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingung für linear unabhängig z.B.: Welche Charakteristik muss K denn haben, damit das LGS nur die triviale Lösung besitzt?
12.12.2012, 18:07	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingung für linear unabhängig Wenn ich das LGS auflöse komme ich auf $\begin{eqnarray} 2\lambda _{1} =0 \end{eqnarray}$ . Heißt also: $\begin{eqnarray} Char K\neq 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda _{1} =0 \end{eqnarray}$ (womit auch $\begin{eqnarray} \lambda _{2} = \lambda _{3}=0 \end{eqnarray}$ ist) . Oder?
12.12.2012, 23:35	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingung für linear unabhängig Also gut, die Charakteristik von K mus ungleich 2 sein, richtig, denn in einem Körper der charakteristik 2 sind die Vektoren linear abhängig. Was meinst du, notwendige oder hinreichende Bedingung oder beides?
13.12.2012, 19:10	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingung für linear unabhängig Ich würde sagen notwendige...?
14.12.2012, 18:13	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingung für linear unabhängig Oder kann man auch sagen das char k ungleich 2 die notwendige ist und char k gleich 2 die hinreichende?
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14.12.2012, 19:20	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingung für linear unabhängig Sorry, war die letzten Tage nicht im Board, am Wochenende bin ichs auch nicht..... Wir haben zwei Aussagen: 1. Aussage: $\begin{eqnarray} char~K \neq 2 \end{eqnarray}$ 2. Aussage: Die Vektoren sind lienar unabhängig Nun überlege, gilt $\begin{eqnarray} char~K \neq 2 \Rightarrow \textbf{Die Vektoren sind lienar unabhängig} \end{eqnarray}$ (hinreichende Bedingung) oder $\begin{eqnarray} char~K \neq 2 \Leftrightarrow \textbf{Die Vektoren sind lienar unabhängig} \end{eqnarray}$ (notwendig und hinreichend) oder $\begin{eqnarray} char~K \neq 2 \Leftarrow \textbf{Die Vektoren sind lienar unabhängig} \end{eqnarray}$ (notwendige Bedingung) ??
14.12.2012, 21:02	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingung für linear unabhängig Hmm ... schade. Dann würde ich sagen es ist die zweite Aussage, damit eine notwendige und hinreichende.
15.12.2012, 06:03	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingung für linear unabhängig Genau.
15.12.2012, 10:46	mathe_maed'l	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingung für linear unabhängig Danke, das du noch geantwortet hast. Ich nehme an, damit ist die Aufgabe gelöst. Danke für deine Hilfe und ein schönes Wochenende noch.

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