Problem mit Beweis zum Thema Reihen

11.12.2012, 21:50

donpain

Problem mit Beweis zum Thema Reihen

Guten Abend!
Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe.

Die Aufgabe:
Man zeige: Für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R , 0<x<1 \end{eqnarray*}$ gibt es eine Folge $\begin{eqnarray*} 1 < n_1 <n_2<... \end{eqnarray*}$ natürlicher Zahlen, so dass:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{n_k} = x \end{eqnarray*}$

Hinweis: Zeige $\begin{eqnarray*} \forall N\in \mathbb N \exists n_1,...,n_N, 0<n_1<...<n_N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^N \frac{1}{n_k} <x \end{eqnarray*}$ (Vollständige Induktion, Archimedes), verwende dann Monotonie und Beschränktheit der Partialsummen und Quetschlemma.

Meine Ideen:
Also ich habe den ersten Teil vom Hinweis denke ich richtig umgesetzt bekommen. Sprich ich konnte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall N\in \mathbb N \exists n_1,...,n_N, 0<n_1<...<n_N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^N \frac{1}{n_k} <x \end{eqnarray*}$ gilt.

Und die Partialsummen müssten ja monoton wachsend sein, oder liege ich da falsch?

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter und ich schaffe es einfach nicht irgendeinen weiteren Fortschritt zu erzielen.

Bitte helft mir! smile

Grüße

12.12.2012, 09:59

Jello Biafra

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RE: Problem mit Beweis zum Thema Reihen
Da kannste Dir ja einfach mal was konstruieren. Z.B. die beiden Folgen:

$\begin{eqnarray*} \left( a_n \right)_{n\in\mathbb N},\left( b_n \right)_{n\in\mathbb N} \text{ durch } b_1:=x \text{ und } b_{n+1} = b_n - \frac 1{a_n} \text{ und mit } a_n := \left[\frac 1{b_n}\right]+1;\text{ wobei }[~]\text{ die Gaußklammer bezeichnet}. \end{eqnarray*}$

Damit gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n=x. \end{eqnarray*}$

12.12.2012, 10:13

HAL 9000

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Man könnte sich auch einfach an der Binärdarstellung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (ohne Null-Periode) orientieren. Augenzwinkern

12.12.2012, 10:45

donpain

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RE: Problem mit Beweis zum Thema Reihen
Morgen! Und danke für Eure Antworten!

Zitat:

Original von Jello Biafra
Da kannste Dir ja einfach mal was konstruieren. Z.B. die beiden Folgen:

$\begin{eqnarray*} \left( a_n \right)_{n\in\mathbb N},\left( b_n \right)_{n\in\mathbb N} \text{ durch } b_1:=x \text{ und } b_{n+1} = b_n - \frac 1{a_n} \text{ und mit } a_n := \left[\frac 1{b_n}\right]+1;\text{ wobei }[~]\text{ die Gaußklammer bezeichnet}. \end{eqnarray*}$

Damit gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n=x. \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt schaffe ich es nicht, nachzuvollziehen, warum die Behauptung damit gelten würde.
Durch Einsetzen würde ich ja erhalten: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n= \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{b_n} \right]+1 \end{eqnarray*}$ . Aber inwiefern habe ich dann gezeigt, dass es die Folge natürlicher Zahlen n1, n2, ... gibt. Dafür müsste die Reihe ja irgendwie die Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{n_k} = x \end{eqnarray*}$ haben, oder nicht?

Da wir die Gaußklammer usw. noch nicht eingeführt haben, würde ich gerne auf der sicheren Seite bleiben und eine Lösung erarbeiten, die dem Hinweis folgt.

Grüße

12.12.2012, 11:32

Jello Biafra

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RE: Problem mit Beweis zum Thema Reihen

Zitat:

Original von Jello Biafra
Damit gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n=x. \end{eqnarray*}$

Da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Es gilt vielmehr:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{a_n}=x. \end{eqnarray*}$

Das folgt wegen:

$\begin{eqnarray*} x-b_{n+1}=\sum_{k=1}^n\left(b_k-b_{k+1}\right)=\sum_{k=1}^n\frac 1{a_k} \end{eqnarray*}$

bereits aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}b_n=0. \end{eqnarray*}$

12.12.2012, 21:49

donpain

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RE: Problem mit Beweis zum Thema Reihen
Wieso gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}b_n=0 \end{eqnarray*}$ ?
Wenn ich diesen Schritt noch nachvollziehen kann, dann habe ich den Lösungsweg verstanden. smile

Also dass b_n monoton fallend ist sehe ich, aber mehr nicht.

13.12.2012, 09:21

Jello Biafra

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RE: Problem mit Beweis zum Thema Reihen

Zitat:

Original von donpain
Also dass b_n monoton fallend ist sehe ich, aber mehr nicht.

Das ist doch schon mal was, denn wenn Du jetzt noch siehst, dass $\begin{eqnarray*} \left(b_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ nach unten beschränkt ist, dann ist die Konvergenz klar.

Die Rekursionsvorschrift aber, lässt keinen anderen Grenzwert als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ zu.

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