Abelsche Gruppe / zyklische Gruppe

11.12.2012, 23:21

Leopard

Abelsche Gruppe / zyklische Gruppe

Die durch $\begin{eqnarray*} a, b \end{eqnarray*}$ mit der Relation $\begin{eqnarray*} 3a + 5b = 0 \end{eqnarray*}$ erzeugte abelsche Gruppe ist als Summe zylischer Gruppen darzustellen.

Wie geht man hier vor?

12.12.2012, 08:09

tmo

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1. Möglichkeit: Torsionsanteil betrachten. In diesem speziellen Fall sieht man leicht wie der aussieht.

2. Möglichkeit: Eine Präsentation aufstellen und in Diagonalform bringen.

12.12.2012, 09:52

Leopard

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Die Lösung der Relation ist $\begin{eqnarray*} a = -5x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=3x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe hier nicht warum die abelsche Gruppe isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , wenn die Lösung doch zweidimensional ist $\begin{eqnarray*} (5x, 3x), \end{eqnarray*}$

12.12.2012, 10:24

Leopard

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1. Möglichkeit: der Torsionsanteil ist die abelsche Gruppe selbst und die dazugehörige freie Gruppe ist die leere Menge. Woher weiss ich, was nun der Erzeuger ist der zyklische Gruppe ist?

2. Möglichkeit: eine Repräsentant ist $\begin{eqnarray*} (-5, 3) \end{eqnarray*}$ . Da sich wenn überhaupt nur quadratische MAtrizen diagonalisieren lassen, verstehe ich nicht, was hier diagonalisiert werden soll.

12.12.2012, 18:13

tmo

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Zitat:

Original von Leopard
1. Möglichkeit: der Torsionsanteil ist die abelsche Gruppe selbst und die dazugehörige freie Gruppe ist die leere Menge.

Wie kommst du denn darauf? Nenn mir doch mal ein Torsionselement.

12.12.2012, 19:00

Leopard

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Die abelsche Gruppe ist gegeben durch
$\begin{eqnarray*} G = (-5,3) \end{eqnarray*}$

DIe Torsionsuntergruppe ist nach Definition:
$\begin{eqnarray*} T(G) := \{ a \in G \colon \mathrm{rm} a < \infty \} = (-5,3) \end{eqnarray*}$ .

12.12.2012, 19:05

tmo

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Ok, was meinst du denn mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} G = (5,3) \end{eqnarray*}$ ?

Und was ist $\begin{eqnarray*} rm \end{eqnarray*}$ ?

Es bleibt trotzdem dabei: G hat keinen Torsionsanteil. Ich weiß immer noch nicht, wie du darauf kommst, dass es einen gäbe. verwirrt

12.12.2012, 19:43

Leopard

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Die fragliche Relation lautet:
$\begin{eqnarray*} (*) \quad 3a + 5b = 0 \end{eqnarray*}$

Lösung von (*) ist $\begin{eqnarray*} b=3x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = -5x \end{eqnarray*}$ . Also, so denke ich, lautete die abelsche Gruppe:

$\begin{eqnarray*} G =\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \{ x \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix} \ \vert \ x \in\mathbb Z \} \end{eqnarray*}$

Die Torsionsuntergruppe enthält alle endlichen Elemente von G. Also, so denke ich,

$\begin{eqnarray*} T(G) = \{ a \in G \ | \ \mathrm{ord}\; a < \infty\} \overset{?}{=} \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder verwechsle ich, dass zwar die Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ endlich ist, aber nicht $\begin{eqnarray*} a := \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

12.12.2012, 20:05

tmo

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Du scheinst da irgendwie etwas missverstanden zu haben.

Einführen der Relation $\begin{eqnarray*} 3a+5b=0 \end{eqnarray*}$ heißt nicht, dass wir die Lösungen dieser Gleichung suchen, sondern es bedeutet, dass wir aus der freiabelschen Gruppe mit Erzeugern a,b diese Relation rausteilen.

D.h. es ist $\begin{eqnarray*} G = \mathbb Z \langle a,b \rangle / \langle 3a+5b \rangle \end{eqnarray*}$ .

Und in dieser Gruppe gibt es kein Element mit endlicher Ordnung (außer das neutrale Element). Folglich kann nur $\begin{eqnarray*} G \cong \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sein.

13.12.2012, 00:58

Leopard

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Ok, Danke jetzt ist es klarer!

13.12.2012, 10:37

Leopard

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Also irgendwie bleibt für mich unklar, was die Notation

$\begin{eqnarray*} G = \mathbb Z(a, b) /(3a + 5b) \end{eqnarray*}$ bedeuten soll.

Wie sehen denn die Elemente aus? Ich kann mir da nichts drunter vorstellen.

Was ist $\begin{eqnarray*} G = \mathbb Z(a, b) \end{eqnarray*}$ ?

15.12.2012, 17:37

tmo

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Zitat:

Original von Leopard
Was ist $\begin{eqnarray*} G = \mathbb Z(a, b) \end{eqnarray*}$ ?

Das ist die freie abelsche Gruppe mit 2 Erzeugern.

Zitat:

Original von Leopard
Also irgendwie bleibt für mich unklar, was die Notation

$\begin{eqnarray*} G = \mathbb Z(a, b) /(3a + 5b) \end{eqnarray*}$ bedeuten soll.

Wie sehen denn die Elemente aus? Ich kann mir da nichts drunter vorstellen.

Das Konzept der Faktorgruppe ist die aber doch bekannt, oder? Die Elemente sind die Nebenklassen der Untergruppen.

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