Elementare Zahlentheorie

12.12.2012, 09:41

Minimaus

Elementare Zahlentheorie

Meine Frage:
Ich habe für die Schule folgende Aufgabe zu lösen und bin völlig ratlos.
Zeigen Sie: Das Produkt von n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch n! teilbar.
Könnt ihr mir dabei helfen?

Meine Ideen:
Mit einem Zahlenbeispiel ist mir das alles klar, aber der formale Ausdruck dazu fällt mir sehr schwer.
Meine Zahlenbeispiele:
1.) 12 x 13=156 ist durch 2! teilbar
2.) 6 x 7 x 8 x 9 x 10=30240 ist durch 5! teilbar

12.12.2012, 09:56

ollie3

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RE: Elementare Zahlentheorie
hallo,
mein tip: das kann man mit vollständiger induktion beweisen. Überlebe dir
insbesondere, was mit dem produkt passiert bei dem schritt von n nach n+1.
gruss ollie3

12.12.2012, 09:57

lgrizu

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RE: Elementare Zahlentheorie
Eine mögliche Beweismethode wäre Induktion mit der Bahauptung:

für ein festes $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} n! | \prod\limits_{i=1}^{n}(k+i) \end{eqnarray*}$ .

12.12.2012, 10:10

HAL 9000

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An sich ist die Behauptung ja zu folgender Aussage über Binomialkoeffizienten äquivalent:

Zitat:

Für alle $\begin{eqnarray*} n,m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \binom{m}{n}\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Neben den bisherigen Beweisvorschlägen würde ich noch einen Induktionsbeweis über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ vorschlagen, dessen Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} m\to m+1 \end{eqnarray*}$ auf der bekannten Binomialkoeffizienten-Identität

$\begin{eqnarray*} \binom{m+1}{n} = \binom{m}{n-1} + \binom{m}{n} \end{eqnarray*}$

fußt.

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