Dgl2.o.

12.12.2012, 13:12

Zac12

Dgl2.o.

Meine Frage:
Ich soll diese DGL 2. Ordnung lösen:

Q'' + R/L Q' + 1/(L*C) Q = 0

Meine Ideen:
Es handelt sich hierbei um eine homogene DGL 2. Ordnung. Somit würde ich über den Homogenenansatz, die Nullstellen berechnen. Mir stören aber die Konstanten R/L sowie 1/(L*C).

Ansatz:

?² + R/L ? + 1/(L*C) = 0

Soll ich davon nun mit Hilfe der pq-Formel die Nullstellen bestimmen oder wie behandelt man diese Art von Funktion?

12.12.2012, 13:15

Zac12

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RE: Dgl2.o.
Die Fragezeichen sollten eigentlich für Lamda bedeuten.

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{2} + \frac{R}{L} \lambda + \frac{1}{L*C} \end{eqnarray*}$

12.12.2012, 13:25

klarsoweit

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RE: Dgl2.o.
OK. Und davon brauchst du jetzt die Nullstellen. smile

12.12.2012, 13:57

Zac12

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RE: Dgl2.o.
Richtig, aber wie gesagt stören mich die Konstanten. Glaub nicht, dass man so die pq-Formel aufstellt:

$\begin{eqnarray*} -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\left(\frac{R}{2L})^{2}- \frac{1}{L*C} \right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\left(\frac{R²}{4L})- \frac{4}{4L*C} \right)} \end{eqnarray*}$

Das sieht mir nicht richtig aus. Glaub so macht man es auch nicht.

12.12.2012, 14:06

klarsoweit

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RE: Dgl2.o.
Wieso nicht? Das ist 100% richtig. smile

12.12.2012, 15:33

Zac12

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RE: Dgl2.o.
$\begin{eqnarray*} - \frac{R}{2L} \pm \left(\frac{R}{2L} - \frac{2}{2L * \sqrt{c} } \right) \end{eqnarray*}$

Wie kann man den Klammerausdruck noch vereinfachen? Wurzel C rausziehen? Oder sind die Nullstellen jetzt:

$\begin{eqnarray*} x1 = - \frac{1}{L*C} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x2= - \frac{R}{L} - \frac{1}{L*C} \end{eqnarray*}$

12.12.2012, 15:45

klarsoweit

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RE: Dgl2.o.

Zitat:

Original von Zac12
$\begin{eqnarray*} - \frac{R}{2L} \pm \left(\frac{R}{2L} - \frac{2}{2L * \sqrt{c} } \right) \end{eqnarray*}$

Wie kann man den Klammerausdruck noch vereinfachen? Wurzel C rausziehen?

Hää?

Anscheinend bist du auch ein Fan dieser tollen Wurzelregel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a - b} = \sqrt a - \sqrt b \end{eqnarray*}$

Ein kleiner Test: $\begin{eqnarray*} 3 = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 \end{eqnarray*}$

Hmm. Also irgendwie funktioniert die Regel dann doch nicht.

Also nee, laß mal schön die Wurzel, wo sie ist.
Ich gebe aber zu, daß ich einen kleinen Fehler übersehen habe:

Zitat:

Original von Zac12
$\begin{eqnarray*} -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\left(\frac{R²}{4L})- \frac{4}{4L*C} \right)} \end{eqnarray*}$

Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\frac{R^2}{4L^2} - \frac{4}{4L*C}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du bestenfalls noch die Brüche unter der Wurzel auf einen Bruch bringen.

12.12.2012, 15:57

Zac12

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RE: Dgl2.o.
Stimmt. Danke dir.

$\begin{eqnarray*} -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\frac{R^2}{4L^2} - \frac{4}{4L*C}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\frac{R^2*C}{4L^2*C} - \frac{4L}{4L²*C}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\frac{(R^2*C)-4L}{4L^2*C}} \end{eqnarray*}$

Könnte man das C noch kürzen? Ansonsten lässt sich der Ausdruck nicht weiter vereinfachen?

12.12.2012, 16:01

klarsoweit

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RE: Dgl2.o.
Kürzen geht nicht und vereinfachen allenfalls noch marginal.

12.12.2012, 16:51

Zac12

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RE: Dgl2.o.
ok. Hm aber so wirklich erkennbar, welcher der drei Fälle es nun ist, kann man nicht.
Würde auf ersten Fall tippen.

13.12.2012, 08:40

klarsoweit

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RE: Dgl2.o.
Welche drei Fälle meinst du? verwirrt

15.12.2012, 10:35

Zac12

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RE: Dgl2.o.
Na, ob zwei unterschiedliche reelle Lösung, zwei gleiche oder Komplex.

15.12.2012, 15:27

Che Netzer

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RE: Dgl2.o.
Das man das nicht allgemein sagen kann, ist ja Sinn der Sache. Wenn der Widerstand besonders groß ist, erwartet man natürlich, dass die Ladung schneller fällt. Bei hoher Induktivität kann aber eine Schwingung zustande kommen.

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Dgl2.o.

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