Konvergenz von Reihen untersuchen

12.12.2012, 16:56

Gekko

Konvergenz von Reihen untersuchen

Meine Frage:
Hallo,

ich soll folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nn^2 + n}{n^3 + 1} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir eigentlich schon ziemlich sicher, dass die Reihe konvergiert und hab versucht es mit dem Majorantenkriterium zu zeigen.

Meine Ideen:
So weit bin ich gekommen:
$\begin{eqnarray*} \forall n \in\ \mathbb N: \sum\limits_{n=1}^\infty |\frac{(-1)^nn^2 + n}{n^3 + 1} | = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2 + n}{n^3 + 1} = \frac{n(n+1)}{n^3 + 1} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich den Term ja eigentlich nach oben abschätzen z.B. gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ , aber mir fällt einfach keine brauchbare Abschätzung ein. Ich könnte zwar sagen $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{n^3 + 1} \leq \frac{n(n+1)}{n^3} = \frac{(n+1)}{n^2} \end{eqnarray*}$ , aber dann weiß ich nicht weiter.

Es würde mich echt freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben würde, wie man weitermacht. smile

12.12.2012, 17:08

HAL 9000

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MIt dem Majorantenkriterium wird das sicher nichts werden, da diese Reihe nicht absolut konvergent ist - die von dir betrachtete Reihe der Beträge

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2 + n}{n^3 + 1} \end{eqnarray*}$

ist offensichtlich divergent (Abschätzung durch harmonische Reihe).

Was hilft, ist die Aufteilung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nn^2+n}{n^3+1} = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{n^2}{n^3+1} + \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n^3+1} \end{eqnarray*}$ ,

wobei der erste Summand eine Leibniz-Reihe ist, während du auf den zweiten Summanden dein Majorantenkriterium loslassen kannst.

12.12.2012, 17:20

shipwater

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Hi,

ich bin wohl ein Kommilitone von dir. Bei der Konvergenz hatte ich die selbe Idee wie HAL9000, das hat auch wunderbar geklappt. Weswegen ich aber eigentlich schreibe: $\begin{eqnarray*} |(-1)^n n^2+n| \neq n^2+n \end{eqnarray*}$ da musst du bisschen aufpassen. Ich hab den Betrag hingegen mit der umgekehrten Dreiecksungleichung abgeschätzt.

Gruß Shipwater

12.12.2012, 18:56

Gekko

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Vielen Dank für eure schnellen Antworten! smile

Ohne euch hätte ich mich total verrannt...

@HAL 9000: Auf diese Aufspaltung wäre ich nie gekommen. Reicht es dann am Ende, wenn ich sage, dass die Reihe konvergent ist, wenn die beiden Reihen der Teilsummen konvergent sind?

Was die die absolute Konvergenz angeht: Muss ich dazu meine ursprüngliche Ausgangsreihe untersuchen, um zu zeigen, dass sie nicht absolut konvergiert oder die beiden aufgeteilten Reihen?

Ich weiß, meine Fragen klingen etwas seltsam, aber ich habe einfach noch nicht den Blick dafür, was ich machen darf und was nicht.

@shipwater: Hallo Kommilitone. Augenzwinkern

Danke für deine Hinweis, ich hab's halt so gerechnet, weil bei mehreren Beispielen, die ich gesehen habe, die (-1)^n durch den Betrag getilgt wurde. Warum geht das hier nicht? Ich vermute mal wegen der Summe im Betrag, aber sicher bin ich mir nicht. Doch irgendwie muss man ja die (-1)^n wegbekommen...

Gruß Gekko

12.12.2012, 21:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gekko
Reicht es dann am Ende, wenn ich sage, dass die Reihe konvergent ist, wenn die beiden Reihen der Teilsummen konvergent sind?

Ja klar: Die Summe zweier konvergenter Reihen ist wieder konvergent.

Zitat:

Original von Gekko
Muss ich dazu meine ursprüngliche Ausgangsreihe untersuchen, um zu zeigen, dass sie nicht absolut konvergiert oder die beiden aufgeteilten Reihen?

Streng der Definition nach! Also basierend auf der Ausgangsreihe muss die Reihe der Beträge betrachtet werden. Wie shipwater schon angedeutet hat, verwendet man dazu die Abschätzung nach unten

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{(-1)^nn^2+n}{n^3+1} \right| \geq \frac{|(-1)^nn^2|-|n|}{n^3+1} = \frac{n^2-n}{n^3+1} \end{eqnarray*}$

und dann rechts das Minorantenkriterium der Divergenz.

12.12.2012, 22:51

Gekko

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@HAL 9000: Vielen Dank für deine Antwort. Du hast mir wirklich sehr geholfen. smile

Hab noch eine kurze Frage zum Leibnitzkriterium. Dass $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^3+1} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, prüft man recht schnell nach, aber wie sieht es mit der Monotonie aus? Reicht es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n < 0 \Leftrightarrow \frac{(n+1)^2}{(n+1)^3+1} - \frac{n^2}{n^3+1} < 0 \end{eqnarray*}$ ? Durch Umformung kam ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{-n^4-2n^3-(n-1)^2+2}{((n+1)^3+1)(n^3+1)} <0 \end{eqnarray*}$ und da der Nenner für alle n positiv und der Zähler negativ ist, ist die Gleichung erfüllt. Ist das ausreichend?

Gruß Gekko

13.12.2012, 08:26

HAL 9000

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Ja, so klappt der Monotonienachweis. Freude

Eine andere Möglichkeit wäre zu zeigen, dass in

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^3+1} = \frac{1}{n+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

der Nenner rechts monoton wachsend ist. Und das sieht man leicht wegen

$\begin{eqnarray*} n + \frac{1}{n^2}\leq n+1 < (n+1)+\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ .

13.12.2012, 18:18

Gekko

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Danke dir! smile

Jetzt hab ich alles verstanden!

Gruß Gekko

13.12.2012, 18:41

Jolly

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Hey! Ich hänge auch an dieser Aufgabe, doch die Beiträge hier waren wirklich sehr hilfreich! smile

Ich hätte jedoch noch eine Frage zur absoluten Konvergenz, da ich mit dem Minorantenkriterium irgendwie nicht zurecht komme:

$\begin{eqnarray*} | \frac{(-1)^nn^2 + n}{n^3 +1} | \geq \frac{|(-1)^nn^2| - |n|}{n^3 +1} = \frac{n^2 - n}{n^3 +1} \geq \frac{n^2-2n^2}{n^3 + n^3} <br /> = \frac{-n^2}{2n^3} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} \Rightarrow -\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Daraus würde dann die Divergenz der Reihe folgen. Aber darf ich den Term überhaupt so abschätzen? Mich verunsichert der Faktor -1/2 ein bisschen, deshalb frage ich nach.

Schon mal danke im Voraus. Augenzwinkern

13.12.2012, 23:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jolly
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2 - n}{n^3 +1} \geq \frac{n^2-2n^2}{n^3 + n^3} \end{eqnarray*}$

Nichts gegen grobe Abschätzungen - wenn sie das Ziel nicht gefährden. Die hier vernichtet das Ziel. unglücklich

Für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ funktioniert an der Stelle

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2 - n}{n^3 +1} \geq \frac{n^2-\frac{n^2}{2}}{n^3 + n^3} = \frac{1}{4n} \end{eqnarray*}$ .

13.12.2012, 23:52

Jolly

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Dankeschön! smile

Ich wusste nicht, dass man hier die Einschränkung n>=2 machen darf. Aber so ergibt die Rechnung viel mehr Sinn.

14.12.2012, 07:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jolly
Ich wusste nicht, dass man hier die Einschränkung n>=2 machen darf.

Wenn es nur um die Frage Konvergenz/Divergenz geht, dann kann man beliebig (Hauptsache aber endlich) viele Reihenglieder am Anfang ignorieren - hier in diesem Fall lassen wir also das erste Glied (das für n=1) außer Acht.

Anders sieht es aus, wenn man derartige Ungleichungen auch für die Abschätzung des Reihenwerts verwenden will: Dort geht es natürlich nicht, diese Ungleichungen für Reihenglieder zu verwenden, wo sie nicht gelten. In so einem Fall muss man dann die Reihe "teilen", d.h. eine Teilsumme bis zu einem gewissen Index, die zweite Teilsumme entsprechend dann ab diesem Index, und die Abschätzung eben nur in der Teilsumme anwenden, wo es statthaft ist.

14.12.2012, 10:59

shipwater

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Hier ist das erste Glied für n=1 sogar 0 also kann man die Ausgangsreihe auch gleich bei 2 starten lassen. So hatte ich es auch gemacht, nur hab ich dann anders abgeschätzt und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+4} \end{eqnarray*}$ als divergente Minorante. Sollte aber auch gehen, wenn ich nichts übersehen habe.

Gruß Shipwater

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