Untermannigfaltigkeit

12.12.2012, 18:34

1nstinct

Untermannigfaltigkeit

Guten Abend zusammen,

Ich denke diese Aufgabe ist ziemlich einfach, ich bin mir aber unsicher mit meiner Lösung.

Sei $\begin{eqnarray*} M=A\cap B \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} A=\left\{(t,-t,s)\in \mathbb R^3:\, s,t\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\left\{(t,s,-s)\in \mathbb R^3:\, s,t\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen gilt es, dass M eine eindim. Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist.

Also ist $\begin{eqnarray*} M=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3:\, x=-y=z\Rightarrow x+y=0\, \text {und}\, y+z=0\right\} \end{eqnarray*}$

Also setzt ich $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=\begin{pmatrix} x+y \\ z+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist die Jaccobische: $\begin{eqnarray*} Df(x,y,z)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der $\begin{eqnarray*} rang(Df(x,y,z))=2 \end{eqnarray*}$ , also ist M eine eindimensionale Untermannf. des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Würde mich über eure Verbesserungen freuen,

MfG

12.12.2012, 18:56

weisbrot

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RE: Untermannigfaltigkeit
ok!
vielleicht noch begründen - so 0 ist regulärer wert etc., oder so.
das einzige womit ich nicht einverstanden bin ist deine mengenschreibweise für M - so wie es da steht ist M ganz IR^3, aber ich verstehe was du meinst Augenzwinkern

12.12.2012, 20:19

1nstinct

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RE: Untermannigfaltigkeit
Danke für deine Hilfe smile

Ich verstehe nicht, was an M falsch ist.

$\begin{eqnarray*} M=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3:\, \forall x,y,z\in \mathbb R:\, x=-y=z\Rightarrow x+y=0\, \text {und}\, y+z=0\right\} \end{eqnarray*}$

In der nächsten Teilaufgabe soll ich einen Atlas für M bestimmen.

Ich denke, ich versuche erst mal eine Karte zu finden.

Nach einem Satz ex. $\begin{eqnarray*} \forall m\in M \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} V\subset M \end{eqnarray*}$ , eine offene Teilmenge $\begin{eqnarray*} W\subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , sowie eine Abb. $\begin{eqnarray*} \phi: W\to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ homöomorph auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ abbildet, $\begin{eqnarray*} \phi,\phi^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig.

Ich muss also eine stetige Abb. $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ finden, so dass gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=0 \Leftrightarrow \phi(z)=(x,y) \end{eqnarray*}$

Stimmt das formal soweit?

MfG

12.12.2012, 20:46

weisbrot

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RE: Untermannigfaltigkeit
also zu dem mit M: die aussage $\begin{eqnarray*} \forall x,y,z\in \mathbb R:\, x=-y=z\Rightarrow x+y=0\, \text {und}\, y+z=0 \end{eqnarray*}$ ist wahr, es ist also $\begin{eqnarray*} M = \{ x\in\mathbb R^3 | \text{true} \} = \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , also aus rein logischen gründen, nicht dass unklar wäre was M wirklich ist.

Zitat:

Nach einem Satz ex. $\begin{eqnarray*} \forall m\in M \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} V\subset M \end{eqnarray*}$ , eine offene Teilmenge $\begin{eqnarray*} W\subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , sowie eine Abb. $\begin{eqnarray*} \phi: W\to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ homöomorph auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ abbildet, $\begin{eqnarray*} \phi,\phi^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig.

mir ist nicht ganz klar was das für einen sinn ergibt. V ist doch immernoch teilmenge im IR^3, aber phi soll nach IR^2 abbilden..?
meinst du vllt den satz vom reg. punkt?
naja jedenfalls kannst du doch zumindest M ganz einfach parametrisieren (ist ja einfach eine gerade), und entsprechend leicht lässt sich auch (durch bloßes hinsehen) die dazugehörige karte finden.
lg

12.12.2012, 20:57

1nstinct

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RE: Untermannigfaltigkeit
Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstehe.

$\begin{eqnarray*} M=\left\{(x,y,z):\, \forall x,y,z\in \mathbb R:\, x=-y=z\Rightarrow x+y=0\, \text {und}\, y+z=0\right\} \end{eqnarray*}$

Und weiter die Parametrisierung:

$\begin{eqnarray*} h: \mathbb R \to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(t)=(t,-t,t) \end{eqnarray*}$

MfG

12.12.2012, 21:29

weisbrot

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RE: Untermannigfaltigkeit
nochmal zu M: die aussage in M ist die implikation (also so wie es da steht, aber nicht da stehen sollte), diese ist war, und deswegen ist es formal so wie ich es im letzten post geschrieben habe. korrekte wäre z.b.: $\begin{eqnarray*} M=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3 | \, x=-y=z\right\} = \left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3 | x+y=0\, \text {und}\, y+z=0\right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und weiter die Parametrisierung: $\begin{eqnarray*} h: \mathbb R \to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} h(t)=(t,-t,t) \end{eqnarray*}$

ja genau.
lg

13.12.2012, 18:37

1nstinct

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RE: Untermannigfaltigkeit
Ach ok, das mit M habe ich jetzt verstanden smile

Vielen Dank.

Ich verstehe leider nicht, wie mir dir Parametrisierung bei der Atlas/Kartensuch hilft.

Ich muss doch eine Karte $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ finden, die für jedes $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in eine offene Umgebung von $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ abbildet.

Wie wäre es also mit $\begin{eqnarray*} \phi(t,-t,t)=t \end{eqnarray*}$ ?

MfG

13.12.2012, 19:14

weisbrot

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RE: Untermannigfaltigkeit
na die parametrisierung ist doch die inverse der inneren karte; hast du auch richtug angegeben. jetzt musst du die innere karte nur noch so auf eine umgebung in IR^3 erweitern dass sie zu ner äußeren karte wird.

Zitat:

Ich muss doch eine Karte $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ finden, die für jedes $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in eine offene Umgebung von $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ abbildet.

umgekehrt - für jedes a musst du eine karte finden, aber hier reicht eh eine.
und die geht auch nach IR^3 (die innere karte - also dein phi hier - soll eigendlich auch nach IR^3 bzw $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times 0^2\cong \mathbb R \end{eqnarray*}$ gehen).
lg

13.12.2012, 20:39

1nstinct

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RE: Untermannigfaltigkeit
Ich wiederhole mal ein bisschen um zu sehen, dass ich das richtig verstanden habe:

Ich habe also die Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} p(t,-t,t)=t=\phi^{-1}(t,-t,t) \end{eqnarray*}$

Daher ist meine innere Karte:

$\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R^3\to \mathbb R \times 0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(t,-t,t)=t \end{eqnarray*}$

Nun muss ich diese geeignet erweitern, so dass sie eine äußere Karte wird.

Kann ich nicht einfach sagen, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ dann Werte in einem Intervall $\begin{eqnarray*} [t-\epsilon,t+\epsilon] \end{eqnarray*}$ annimmt für $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ?

Noch eine Frage: Muss ich das machen, da M eine Untermannigf. mit Rand ist? Ich denke ja, da bei offenen Mengen eine innere Karte ausreichen müsste?!

MfG

14.12.2012, 16:35

weisbrot

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RE: Untermannigfaltigkeit

Zitat:

Ich habe also die Parametrisierung $\begin{eqnarray*} p(t,-t,t)=t=\phi^{-1}(t,-t,t) \end{eqnarray*}$ Daher ist meine innere Karte: $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R^3\to \mathbb R \times 0^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \phi(t,-t,t)=t \end{eqnarray*}$

innere karte wäre eig. $\begin{eqnarray*} M \to\mathbb R\times 0^2\cong \mathbb R , (x,-x,x)\mapsto (x,0,0)\simeq x \end{eqnarray*}$ und die entspr. param.: $\begin{eqnarray*} x\mapsto (x,-x,x) \end{eqnarray*}$ (normalerweise nimmt man eigendlich h für innere karte und phi für param., aber ich überlass es mal dir).

Zitat:

Kann ich nicht einfach sagen, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ dann Werte in einem Intervall $\begin{eqnarray*} [t-\epsilon,t+\epsilon] \end{eqnarray*}$ annimmt für $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ?

verstehe nicht was du meinst.

Zitat:

Noch eine Frage: Muss ich das machen, da M eine Untermannigf. mit Rand ist? Ich denke ja, da bei offenen Mengen eine innere Karte ausreichen müsste?!

M hat keinen rand, das hat aber damit nichts zu tun. ich kenne es so: will man eine untermannigfaltigkeit im IR^n beschreiben tut man das entweder mit einem atlas mit (äußeren) karten, oder durch eine parametrisierung, oder als urbild eines regulären werts unter einer entsprechenden funktion. was du nimmst ist dir überlassen bzw. dir vorgegeben - mir kam es so vor als wolltest du karten bestimmen.
und das sollte gannz leicht gehen weil die innere karte leicht zu sehen ist und wohl auch nicht schwer auf eine äußere karte zu erweitern ist (denk daran: die muss diffeomorphismus sein!).
lg

14.12.2012, 18:19

1nstinct

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RE: Untermannigfaltigkeit
Hallo,

Ich habe wirklich Verständnisprobleme bei diesem Thema.

Ist die äußere Karte gleich dem Atlas?

Ich bin also nun soweit, dass ich meine Menge $\begin{eqnarray*} M\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ auf eine Gerade im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbilde.

Meine innere Karte ist nun mein $\begin{eqnarray*} h(t,-t,t)=t \end{eqnarray*}$ .

h ist stetig diff'bar und bijektiv. Dann muss ich mir also $\begin{eqnarray*} h^{-1}(t)=\phi(t)=(t,-t,t) \end{eqnarray*}$ anschauen.

$\begin{eqnarray*} \phi'(t)=(1,-1,1) \end{eqnarray*}$ ist nicht leider nicht stetig, da die Bildmenge nicht offen ist.

Ich versuchs einfach mal weiter:

Setzte: $\begin{eqnarray*} h(t^3,-t^3,t^3)=t \end{eqnarray*}$

Dann: $\begin{eqnarray*} \phi'(t)=(3t^2,-3t^2,3t^2) \end{eqnarray*}$ stetig.

MfG

15.12.2012, 15:28

weisbrot

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RE: Untermannigfaltigkeit

Zitat:

Ist die äußere Karte gleich dem Atlas?

nein, nicht direkt - ein atlas ist eine menge von (äußeren) karten mit kartengebieten, die die ganze umf überdecken. hier reicht eine karte, also wäre der atlas dann einfach die menge mit dieser karte.

Zitat:

h ist stetig diff'bar und bijektiv.

h ist aber auf M definiert - differenzierbarkeit auf mannigfaltigkeiten ist ein bisschen anders als normale differenzierbarkeit, hierfür aber auch erstmal nicht wichtig. du willst nur dass die äußere karte H - also die erweiterung von h auf eine offene umgebung eines jeden punktes von M - diffeomorph ist.

was du dann machst ist alles nicht ganz zielführend. wie gesagt soll die äußere karte diffeomorph sein - also würde ich erstmal gucken wie man h gut auf eine umgebung von M erweitern kann (dabei sollte man vorallem auf die bijektivität schauen, stetig diffbar sind ja die meisten funktionen mit denen mans zu tun hat, also es wäre sehr verwunderlich wenn du auf eine äußere karte kommst die nicht stetig diffbar ist).
dazu als denkanstoß: alles ist irgendwie linear (innere karte und param.), also wahrscheinlich sollte H auch linear sein, und du musst dich nicht darauf konzentrieren H nur auf einer umgebung von M zu definieren, IR^3 reicht in diesem einfachen beispiel als umgebung. also: ein bijektives (diffeomorphes) H: IR^3 -> IR^3 finden mit $\begin{eqnarray*} H\big |_M = h \end{eqnarray*}$ . ist nicht so schwer.

und dazu:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi'(t)=(1,-1,1) \end{eqnarray*}$ ist nicht leider nicht stetig, da die Bildmenge nicht offen ist.

eine funktion ist genau dann stetig, wenn das urbild offener mengen offen ist. und eine konstante funktion ist doch wohl offensichtlich stetig.

lg

15.12.2012, 15:50

1nstinct

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RE: Untermannigfaltigkeit
Ich habe folgendes H gefunden:

$\begin{eqnarray*} H(x,y,z)=(x,x+y,x-z) \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} H|_{M}=H(t,-t,t)=(t,0,0)=t=h(t,-t,t) \end{eqnarray*}$ .

Desweiteren ist $\begin{eqnarray*} ker(H) \end{eqnarray*}$ trivial, daher $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ injektiv.

$\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ausserdem surjektiv.

Also ist $\begin{eqnarray*} A=(M,H) \end{eqnarray*}$ ein Atlas.

MfG

15.12.2012, 15:54

weisbrot

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RE: Untermannigfaltigkeit
jo genau, schön Freude

außerdem muss die inverse von H noch stetig diff.bar sein, aber das ist ja auch mehr oder weniger offensichtlich.
lg

edit:

Zitat:

Also ist $\begin{eqnarray*} A=(M,H) \end{eqnarray*}$ ein Atlas.

naja, also man sollte schon mengen mit mengenklammern schreiben, und M gehört nicht in den atlas, nur äußere karten (oder ihr habt es bei euch etwas anders definiert, dann vergiss diesen satz).

15.12.2012, 16:01

1nstinct

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RE: Untermannigfaltigkeit
Ich danke dir VIELMALS für deine super Hilfe und Gedult mit mir smile

Hast mir wirklich sehr geholfen mit dem Thema.

Ich habe noch eine zweite Aufgabe zu diesem Thema, vielleicht poste ich sie auch noch.

Wink

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Untermannigfaltigkeit

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