Matrix einer Abbildung

12.12.2012, 22:16

Alonushka

Matrix einer Abbildung

Hallo=)
Ich sitze schon länger vor einer Aufgabe, die ich nicht richtig verstehe...ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann auf die Lösung zu kommen...

Sei D: = $\begin{eqnarray*} K[X] -> K[X] \end{eqnarray*}$ die Abbildung, die gegeben ist durch:
$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{i=0}^n a_i X^(i) -> \sum \limits_{i=1}^n ia_i X^(i-1) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} D(aX^0) = 0 \end{eqnarray*}$ für a in K (die Abbildung D heißt der formale Ableitungsoperator).
Wählen Sie Basen von $\begin{eqnarray*} K[X]_3 \end{eqnarray*}$ ind $\begin{eqnarray*} K[X]_2 \end{eqnarray*}$ und bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung D(beschränkt auf $\begin{eqnarray*} K[X]_3 \end{eqnarray*}$ ) : $\begin{eqnarray*} K[X]_3 -> K[X]_2 \end{eqnarray*}$ bezüglich dieser Basen.

Meine Ideen:
da Polynom von $\begin{eqnarray*} K[X]_3 \end{eqnarray*}$ ist gleich = $\begin{eqnarray*} a_0 + a_1X^1 + a_2X^2 + a_3^3 \end{eqnarray*}$ und es besteht aus vier Basen
-> $\begin{eqnarray*} B= {a_0, a_1X^1, a_2X^2, a_3X^3} \end{eqnarray*}$
Polynom von $\begin{eqnarray*} K[X]_2 \end{eqnarray*}$ ist gleich = $\begin{eqnarray*} a_0 + a_1X^1 + a_2X^2 \end{eqnarray*}$ und es besteht aus drei Basen
-> $\begin{eqnarray*} B={a_0, a_X^1, a_2X^2} \end{eqnarray*}$

weiter komme ich irgendwie nicht weiter...=(
bitte um Hilfe=)

13.12.2012, 09:27

klarsoweit

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RE: Matrix einer Abbildung

Zitat:

Original von Alonushka
Sei D: = $\begin{eqnarray*} K[X] -> K[X] \end{eqnarray*}$ die Abbildung, die gegeben ist durch:
$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{i=0}^n a_i X^(i) -> \sum \limits_{i=1}^n ia_i X^(i-1) \end{eqnarray*}$

Gemeint ist vermutlich: $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{i=0}^n a_i X^{(i)} -> \sum \limits_{i=1}^n ia_i X^{(i-1)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Alonushka
Meine Ideen:
da Polynom von $\begin{eqnarray*} K[X]_3 \end{eqnarray*}$ ist gleich = $\begin{eqnarray*} a_0 + a_1X^1 + a_2X^2 + a_3^3 \end{eqnarray*}$ und es besteht aus vier Basen
-> $\begin{eqnarray*} B= {a_0, a_1X^1, a_2X^2, a_3X^3} \end{eqnarray*}$

Na ja, es handelt sich um eine Basis des $\begin{eqnarray*} K[X]_3 \end{eqnarray*}$ mit 4 Elementen und zwar: $\begin{eqnarray*} B_3 := \{p_i \in K[X] | p_i(X) = X^i, i=0,1,2,3 \} \end{eqnarray*}$

Analog nimmst du B_2 als Basis von $\begin{eqnarray*} K[X]_2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Alonushka
weiter komme ich irgendwie nicht weiter...=(

Und wo ist das Problem? Du machst, was immer zu tun ist: bestimmte die Bilder der Basisvektoren des Urbildraums und stelle diese in der Basis des Bildraums dar.

15.12.2012, 12:45

Alonushka

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RE: Matrix einer Abbildung
ja,ok...die Basen von $\begin{eqnarray*} K[X]_3 \end{eqnarray*}$ sind:
$\begin{eqnarray*} B_1 = 1,X^1,X^2,X^3 \end{eqnarray*}$
werden abgebildet auf Basen von $\begin{eqnarray*} K[X]_2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} B_2 = 1,X^1,X^2 \end{eqnarray*}$

so, da geht es los, wo ich nicht mehr weiter weiß...
ich nehme die erste Basis aus $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ und bestimme deren Bild...
die Abbildung ist ja :
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=o}^{n} a_iX^{(i)} -> \sum\limits_{i=1}^{n}ia_iX^{(i-1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^0 -> X^{(0-1)} = X^{(-1)} \end{eqnarray*}$
ist das richtig?
wenn ja, dann muss dieses Bild vun $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ erzeugt werden.
ich verwende x,y,z (statt lambda,usw.)
$\begin{eqnarray*} X^{(-1)}=x*1 + y*X^1 + z*X^2 \end{eqnarray*}$
und weiter komme ich nicht weiter... unglücklich

16.12.2012, 16:24

Alonushka

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RE: Matrix einer Abbildung
kann mir jemand bitte helfen ?

17.12.2012, 10:32

klarsoweit

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RE: Matrix einer Abbildung

Zitat:

Original von Alonushka
die Abbildung ist ja :
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=o}^{n} a_iX^{(i)} -> \sum\limits_{i=1}^{n}ia_iX^{(i-1)} \end{eqnarray*}$

Ich stelle das jetzt zum 2. mal richtig: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n} a_iX^{(i)} -> \sum\limits_{i=1}^{n}ia_iX^{(i-1)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Alonushka
$\begin{eqnarray*} X^0 -> X^{(0-1)} = X^{(-1)} \end{eqnarray*}$
ist das richtig?

Nein. Stelle erstmal $\begin{eqnarray*} X^0 \end{eqnarray*}$ als Summe in der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n} a_iX^{(i)} \end{eqnarray*}$ dar.

17.12.2012, 21:34

Alonushka

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RE: Matrix einer Abbildung
es wäre dann nur :
$\begin{eqnarray*} a_0X^0 \end{eqnarray*}$

18.12.2012, 10:36

klarsoweit

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RE: Matrix einer Abbildung
Noch genauer: welchen Wert hat also a_0 bzw. a_1, a_2 und a_3 ?

18.12.2012, 14:12

Alonushka

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RE: Matrix einer Abbildung
1 + 0 + 0 + 0
meinst du das so?

18.12.2012, 14:27

klarsoweit

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RE: Matrix einer Abbildung
Na ja. Eher a_0 =1, a_1 = a_2 = a_3 = 0.

Und jetzt wende mal auf $\begin{eqnarray*} X^0 = 1 \cdot X^0 + 0 \cdot X^1 + 0 \cdot X^2 + 0 \cdot X^3 \end{eqnarray*}$ die Abbildung D an.

18.12.2012, 15:54

Alonushka

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RE: Matrix einer Abbildung
ist das ungefähr so?
$\begin{eqnarray*} D(X^0)=1*1*X^{(0-1)} + 2*0*X^{(1-1)} + 3*0*X^{(2-1)} + 4*0*X^{(3-1)} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} D(X^0)=1*1*X^{(-1)} + 2*0*X^{0} + 3*0*X^{(1)} + 4*0*X^{(2)} \end{eqnarray*}$
???

18.12.2012, 16:06

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RE: Matrix einer Abbildung
Man kommt der Sache näher, aber irgendwie hast du dich bei der Summe $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{i=1}^n ia_i X^{(i-1)} \end{eqnarray*}$ verhuddelt. Beachte auch, daß die Summe mit i=1 beginnt.

18.12.2012, 16:23

Alonushka

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RE: Matrix einer Abbildung
das ist ja, glaube ich mein Problem...
ich weiß nicht, wie ich es genau mache...
ich kann es nochmal versuchen...

$\begin{eqnarray*} D(X^0)=1*1*X^{(1-1)} + 2*0*X^{2-1} + 3*0*X^{(3-1)} + 4*0*X^{(4-1)} \end{eqnarray*}$
???
aber ich denke, dass es falsch ist...

19.12.2012, 10:13

klarsoweit

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RE: Matrix einer Abbildung
Ich hatte doch explizit die Summendarstellung von X^0 hingeschrieben:

Zitat:

Original von klarsoweit
Und jetzt wende mal auf $\begin{eqnarray*} X^0 = 1 \cdot X^0 + 0 \cdot X^1 + 0 \cdot X^2 + 0 \cdot X^3 \end{eqnarray*}$ die Abbildung D an.

Und offensichtlich ist da n=3. Warum nimmst du dann n=4 ? verwirrt

Also richtig ist nun: $\begin{eqnarray*} D(X^0) = 1*1*X^{(1-1)} + 2*0*X^{2-1} + 3*0*X^{(3-1)} \end{eqnarray*}$

So. Das Spiel mußt nun noch für die anderen Basiselemente von $\begin{eqnarray*} K[X]_3 \end{eqnarray*}$ machen.

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