Summe bestimmen (Partialbruchzerlegung)

12.12.2012, 23:09

MatheNoobii

Summe bestimmen (Partialbruchzerlegung)

Hey Leute,

habe hier eine Aufgabe mit der ich noch überhaupt nicht zurecht komme:

Bestimmen Sie die Summe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 \cdot 4 \cdot 7}+ \frac{1}{4 \cdot 7 \cdot 10} + \frac{1}{7 \cdot 10 \cdot 13} ... \end{eqnarray*}$

Hinweise sind: Partialbruchzerlegung und Teleskopsumme!

Ich weiß absolut nicht wie ich vorgehen soll.

Partialbruchzerlegungsbeispiele habe ich nur mit Variablen gefunden. Etwa so:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-3}{(x-1)(x-3)} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand helfen?

12.12.2012, 23:46

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau Dir die Nenner an: Es sind jeweils drei Zahlen und sie haben alle denselben Abstand zueinander. Lässt sich das nicht in eine schöne Formel packen?

13.12.2012, 11:46

Jello Biafra

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe bestimmen (Partialbruchzerlegung)

Zitat:

Original von MatheNoobii
Bestimmen Sie die Summe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 \cdot 4 \cdot 7}+ \frac{1}{4 \cdot 7 \cdot 10} + \frac{1}{7 \cdot 10 \cdot 13} ... \end{eqnarray*}$

Hinweise sind: Partialbruchzerlegung und Teleskopsumme!

Betrachte Deine Summe mal in folgender Weise:

$\begin{eqnarray*} \frac1{1 \cdot 4 \cdot 7}+ \frac1{4 \cdot 7 \cdot 10} + \frac1{7 \cdot 10 \cdot 13}+\ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac 16\cdot \left[ \left( \frac 1{1\cdot 4}-\frac 1{4\cdot 7} \right)+\left( \frac 1{4\cdot 7}-\frac 1{7\cdot 10}\right)+\left(\frac 1{7\cdot 10}-\frac 1{10\cdot 13}\right)+\ldots\right] \end{eqnarray*}$

Edit(Helferlein): Zeilenumbruch eingefügt.

13.12.2012, 13:49

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

An Helferlein:

Meinst du so?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x \cdot (x+3) \cdot (x+6)} + \frac{1}{(x+3) \cdot (x+6) \cdot (x+9)+...} \end{eqnarray*}$

An Jello Biafra:

Wie soll ich darauf kommen?

13.12.2012, 14:09

Jello Biafra

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MatheNoobii
Meinst du so?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x \cdot (x+3) \cdot (x+6)} + \frac{1}{(x+3) \cdot (x+6) \cdot (x+9)+...} \end{eqnarray*}$

Wohl eher nicht.

Versuch doch mal die Zahlenfolge:

$\begin{eqnarray*} 1,4,7,10,13,\ldots \end{eqnarray*}$ in Abhänigkeit von $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ auszudrücken.

Kleiner Hinweis: Bei

$\begin{eqnarray*} 1,3,5,7,9,\ldots \end{eqnarray*}$ könnte man stattdessen $\begin{eqnarray*} (2n-1)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ schreiben.

Zitat:

Original von MatheNoobii
Wie soll ich darauf kommen?

Diese Frage ist ebenso beliebt wie überflüssig.
Hier insbesondere deshalb, weil die notwendigen Hinweise (PBZ, Teleskopsumme) ja explizit angegeben waren.

13.12.2012, 14:16

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 1,4,7,10,13,\ldots \end{eqnarray*}$ in Abhänigkeit von $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N: (3n-2)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$

Aber ich kenne mich mit den Begriffen noch überhaupt nicht aus.

13.12.2012, 14:23

bakurt

Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert den mit mit 3(n+1)-2 und 3(n+2)-2 und so weiter -
Und pack das nun mal irgendwie in deine Summe sodass du eine gescheite Form kriegst - danach wirst du Partialbruchzerlegung anwenden müssen, falls dir das natürlich was sagt =)))

13.12.2012, 14:26

Jello Biafra

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MatheNoobii
$\begin{eqnarray*} 1,4,7,10,13,\ldots \end{eqnarray*}$ in Abhänigkeit von $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N: (3n-2)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$

Genau, und damit lässt sich Deine Folge also schreiben als

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(3n-2)(3n+1)(3n+4)}=\frac 16\left(\frac 1{(3n-2)(3n+1)}-\frac 1{(3n+1)(3n+4)}\right) \text{ (PBZ!)} \end{eqnarray*}$

was Dir die gewünschte Teleskopstruktur liefert und somit auch einen formalen Beweis für den Reihenwert ermöglichen sollte.

13.12.2012, 14:33

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, ok! Viel verstehe ich davon noch nicht wirklich und ich weiß auch nicht wie es jetzt weiter geht.

Ich hätte das vermutlich jetzt so gemacht :

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(3n-2)} + \frac 1{(3n+1)} + \frac 1{(3n+4)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {(3n+1)(3n+4)} {(3n-2)(3n+1)(3n+4)} + \frac {(3n-2)(3n+4)} {(3n-2)(3n+1)(3n+4)}+ \frac {(3n+1)(3n-2)} {(3n-2)(3n+1)(3n+4)} \end{eqnarray*}$

Edit(Helferlein): Zeilenumbruch eingefügt, um Überbreite des Beitrags zu verhindern.

13.12.2012, 14:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MatheNoobii
Puh, ok! Viel verstehe ich davon noch nicht wirklich und ich weiß auch nicht wie es jetzt weiter geht.

Dazu wurde schon was gesagt:

Zitat:

Original von Jello Biafra
weil die notwendigen Hinweise (PBZ, Teleskopsumme) ja explizit angegeben waren.

Wäre keine schlechte Idee, wenn du dich mal zu diesem Begriff kundig machst.

Zitat:

Original von MatheNoobii
Ich hätte das vermutlich jetzt so gemacht :

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(3n-2)} + \frac 1{(3n+1)} + \frac 1{(3n+4)}= \end{eqnarray*}$

Das hat nun leider gar nichts mit dem obigen Ergebnis der PBZ zu tun. Warum diese sinnlose Raterei? unglücklich

13.12.2012, 14:40

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte ich mal machen...

Neue Frage »

Antworten »

Summe bestimmen (Partialbruchzerlegung)

Verwandte Themen