Menge der stationären Punkte

13.12.2012, 00:29

Royale

Menge der stationären Punkte

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}->\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar, $\begin{eqnarray*} a \in\mathbb{R}^n, a \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x):=g(<a,x>) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . (<.,.> bezeichne das Standardskalarprodukt)

Zeige: Die Menge der stationären Punkte von f ist eine Vereinigung von parallelen Hyperebenen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Problem:
Ich bin mir nicht ganz sicher, was ich unter parallelen Hyperebenen zu verstehen habe... es steht dazu auch nicht wirklich eine Definition im Skript und Wikipedia sagt, Hyperebenen seien Unterräume... dann ergibt es aber eigentlich keinen Sinn von Parallelität zu sprechen, oder?

Abgesehen davon sehe ich auch nicht, wieso f überhaupt einen stationären Punkt haben sollte. Es ist $\begin{eqnarray*} grad (f(x))=g'(<a,x>)\cdot a^T \end{eqnarray*}$ und offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} g' \neq 0 \end{eqnarray*}$ möglich (z.B. für $\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ ). Die leere Menge ist aber doch sicherlich keine Hyperebene, oder...? Was verstehe ich falsch?

13.12.2012, 09:42

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ kann durchaus stationäre Punkte haben, nämlich dort, wo $\begin{align*} g'' = 0 \end{align*}$ .

Erst mal kannst du die Hesse-Matrix der Funktion bestimmen und schauen, wo sie den Rang 0 hat. Du wirst sehen, dass dies genau da ist, wo $\begin{align*} g'' = 0 \end{align*}$ gilt. Dass die Mengen der stationären Punkte Hyperebenen sein müssen, kannst du daran sehen, dass $\begin{align*} g \end{align*}$ - und damit $\begin{align*} f \end{align*}$ - auf Hyperebenen senkrecht zu $\begin{align*} a \end{align*}$ denselben Wert hat.

13.12.2012, 13:32

Royale

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was haben denn die stationären Punkte von f mit der Hesse-Matrix zu tun? Nach unserer Definition ist $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ein stationärer Punkt von f, wenn $\begin{eqnarray*} grad(f(x))=0 \end{eqnarray*}$ ist.
Außerdem wäre es ja auch möglich, g so zu wählen, dass $\begin{eqnarray*} g' \neq 0, g'' \neq 0 \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} g(x)=e^x \end{eqnarray*}$ . Dann wäre die Menge der stationären Punkte von f leer - da kann man doch nicht von einer Hyperebene sprechen, oder? verwirrt

13.12.2012, 14:57

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, du hast recht. Es ist so, wie du schreibst, es muss nur $\begin{align*} \nabla f = 0 \end{align*}$ gelten. Die zusätzliche Bedingung $\begin{align*} H(f) = 0 \end{align*}$ gilt nur für Sattelpunkte. Es kann sich aber auch einfach um einen Extremwert in $\begin{align*} g \end{align*}$ handeln, für den dann stationäre Punkte von $\begin{align*} f \end{align*}$ vorliegen. Es gilt $\begin{align*} \nabla f = 0 \end{align*}$ genau dann, wenn $\begin{align*} g'(s) =0 \end{align*}$ , und das ist für alle $\begin{align*} x \text{ mit } s= <a,x> \end{align*}$ der Fall. Diese liegen auf einer zu $\begin{align*} a \end{align*}$ senkrechten Hyperebene.

Es ist ja nicht die Rede davon, dass es stationäre Punkte geben muss. Die Menge kann durchaus leer sein. Nur, für den Fall der Existenz stationärer Punkte, sind die Mengen parallele Hyperebenen.

13.12.2012, 18:57

Royale

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich denke, dann hab ich das verstanden, auch wenn ich die Aufgabe in der Hinsicht etwas uneindeutig gestellt finde. Vielen Dank jedenfalls schon mal! smile

Ich habe nun allerdings noch ein Problem mit der nächsten Teilaufgabe:

Zeige: In jedem stationären Punkt von f ist die Hesse-Matrix von f semidefinit, aber im Falle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ nicht definit.

Die Einträge der Hesse-Matrix von f haben, denke ich, die Gestalt $\begin{eqnarray*} g''(<a,x>)\cdot a_ja_k \end{eqnarray*}$ , aber mir erschließt sich nicht, woraus man hier Semidefinitheit ablesen sollte. Das würde ja entweder über die Definition oder über die Eigenwerte der Hessematrix gehen. Vermutlich wäre es sinnvoller, hier über die Definition zu argumentieren, aber mir ist auch nicht klar, wie man $\begin{eqnarray*} x^TH_fx \geq 0 \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ) zeigen könnte

14.12.2012, 14:24

Royale

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat keiner ne Lösungsidee?

14.12.2012, 14:53

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Royale
Zeige: In jedem stationären Punkt von f ist die Hesse-Matrix von f semidefinit, aber im Falle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ nicht definit.

Das versteh ich nicht. Dass die Hesse von f semidefinit ist, kann man zeigen. Dass aber für n > 1 f nicht-defnit sein soll, ist mir ein Rätsel. verwirrt

$\begin{align*} \end{eqnarray*} \begin{align*}\Delta x^T H_f \Delta x &= \left.g''(s)\right|_{s=<a,x>}\sum_i\sum_k (\Delta x)_i (a_i a_k ) (\Delta x)_k<br /> &= \left.g''(s)\right|_{s=<a,x>}\sum_i \sum_k((\Delta x)_i a_i) ( a_k (\Delta x)_k) <br /> &= \left.g''(s)\right|_{s=<a,x>}(\sum_i (\Delta x)_i a_i) (\sum_k a_k (\Delta x)_k) \end{align*}\begin{eqnarray*}<br /> &= \left.g''(s)\right|_{s=<a,x>}<a,\Delta x>^2 \end{align*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} \left.g''(s)\right|_{s=<a,x>}\ne 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} (\Delta x)^T H_f (\Delta x) \end{eqnarray*}$ nur dann =0, wenn $\begin{align*} \Delta x \end{align*}$ in der Hyperebene senkrecht auf $\begin{align*} a \end{align*}$ liegt, ansonsten ist der quadratische Term positiv. Je nach dem Vorzeichen von $\begin{align*} g'' \end{align*}$ ist $\begin{align*} H_f \end{align*}$ positiv oder negativ semidefinit. Wenn $\begin{align*} \left.g''(s)\right|_{s=<a,x>} = 0 \end{align*}$ , dann ist $\begin{align*} H_f =0 \end{align*}$ , aber das ist auch nicht indefinit, da gar keine positiven oder negativen EW existieren.

Im Fall $\begin{align*} n = 1 \end{align*}$ , also $\begin{align*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ,x \mapsto g(ax) \end{align*}$ gibt es keine Vektoren senkrecht zu $\begin{align*} a \end{align*}$ , und die Hessematrix ist einfach $\begin{align*} H_f = a^2x^2 g'' = (ax)^2 g'' \end{align*}$ .

Edit: Es sollte natürlich im letzten Satz heißen: $\begin{align*} H_f = a^2(\Delta x)^2 g'' = (a\Delta x)^2 g'' \end{align*}$ .

14.12.2012, 18:23

Royale

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, mit "nicht definit" ist hier nicht "indefinit" gemeint, sondern "nicht positiv/negativ definit".

Wo geht denn da jetzt ein, dass s nach Voraussetzung der Aufgabe ein stationärer Punkt von f ist?

14.12.2012, 21:43

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Royale
Ich denke, mit "nicht definit" ist hier nicht "indefinit" gemeint, sondern "nicht positiv/negativ definit".

"nicht definit", statt "indefinit", na super. Also, "nicht definit" soll heißen? Semidefinit oder auch indefinit? Wieso denn dann "Zeige: In jedem stationären Punkt von f ist die Hesse-Matrix von f semidefinit, aber im Falle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ nicht definit"? Das ist doch dann kein Gegensatz zu semidefinit, wenn semidefinit ebenfalls eine Möglichkeit bei "nicht definit" ist. verwirrt

Außerdem existiert die Möglichkeit "indefinit" doch gar nicht, wie ich gezeigt habe. Denn dazu gehört, dass es Eigenwerte mit unterschiedlichen Vorzeichen gibt, gibt es aber nie. Der Fall n=1 ist allerdings positiv oder negativ definit, oder die "Matrix" ist 0 im Falle eines Sattelpunktes.

Dein Aufgabensteller sollte wohl mal seinen Stil überarbeiten. Kannst du ihm ruhig weitersagen.

Zitat:

Wo geht denn da jetzt ein, dass s nach Voraussetzung der Aufgabe ein stationärer Punkt von f ist?

Das hatte ich natürlich vorausgesetzt, dass nur solche Punkte betrachtet werden. Musst du dir also dazu denken.

16.12.2012, 15:33

Royale

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RavenOnJ

"nicht definit", statt "indefinit", na super. Also, "nicht definit" soll heißen? Semidefinit oder auch indefinit? Wieso denn dann "Zeige: In jedem stationären Punkt von f ist die Hesse-Matrix von f semidefinit, aber im Falle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ nicht definit"? Das ist doch dann kein Gegensatz zu semidefinit, wenn semidefinit ebenfalls eine Möglichkeit bei "nicht definit" ist. verwirrt

Ich denke, es soll heißen, dass die Hessematrix für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ eben "nur" semidefinit ist, aber nicht definit, d.h., dass es $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} x^TH_fx=0 \end{eqnarray*}$ .

Beim Aufgabensteller handelt es sich übrigens um den Dozenten. Big Laugh

Ich danke erneut für deine Hilfe! Eine letzte Teilaufgabe fehlt noch, wo ich mir unsicher bin, ob man so argumentieren kann, wie ich gern würde. Wäre toll, wenn du dir das auch noch mal anschauen könntest. smile

Zu zeigen ist: Falls die Hessematrix von f in einem stationären Punkt p nicht die Nullmatrix ist, dann hat f in p ein lokales Extremum.

Meine Idee: Wenn $\begin{eqnarray*} H_f \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} g''(<a,p>) \neq 0 \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} g'(<a,p>)=0 \end{eqnarray*}$ , da p stationärer Punkt), also hat g ein lokales Extremum in <a,p>. Es gibt also eine Umgebung U von <a,p>, sodass o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} g(<a,p>+x) \leq g(<a,p>) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ . Nun findet man wegen der Stetigkeit des Skalarprodukts eine Umgebung V der 0, sodass $\begin{eqnarray*} <a,p+h> \in U \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} h \in V \end{eqnarray*}$ . Dies in Verbindung mit der Definition von f zeigt die Behauptung.

Ist das so zulässig oder muss ich anders argumentieren?

16.12.2012, 15:37

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Royale
Beim Aufgabensteller handelt es sich übrigens um den Dozenten. Big Laugh

Um so besser - oder schlechter, wie man's nimmt. Big Laugh

Er hätte beispielsweise schreiben können: Zeige, dass im Fall n=1 die Hesse definit oder 0 und im Fall n> 1 semidefinit oder 0.

16.12.2012, 15:47

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist OK für mich. Ob das allerdings ohne Epsilontik so akzeptiert wird, weiß ich natürlich nicht. Vielleicht machst du es mit $\begin{align*} \delta-\epsilon \end{align*}$ mathematisch stringenter.

Aber das stört mich:

Zitat:

Original von Royale
$\begin{eqnarray*} g(<a,p>+x) \leq g(<a,p>) \end{eqnarray*}$

denn das gilt ja nur für ein lokales Maximum. Musst du also auch noch für ein lok. Minimum analog schreiben.

16.12.2012, 17:31

Royale

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

denn das gilt ja nur für ein lokales Maximum. Musst du also auch noch für ein lok. Minimum analog schreiben.

Ja, war zu faul, das hier noch für ein Minimum zu schreiben. Big Laugh

Ok, dann nochmals vielen Dank für deine Hilfe! Freude

Neue Frage »

Antworten »

Menge der stationären Punkte

Verwandte Themen