Erwartungswert: Anzahl Kugeln

13.12.2012, 09:26	Urne	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert: Anzahl Kugeln Hallo Leute, ich habe eine Urne mit n Kugeln. Daraus ziehe ich m Kugeln mit Zurücklegen. Gibt es eine Formel für den Erwartungswert für die Anzahl der verschiedenen Kugeln, die ich gezogen habe? Danke!
13.12.2012, 10:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwierig. Zumindest gibt es aber eine einfache Formel für den Erwartungswert der notwendigen Anzahl Ziehungen bis man $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ verschiedene Kugeln unter den Ziehungsergebnissen hat: Wahrscheinlichkeit bei Sammelkarten Vielleicht geht es dir ja sowieso eher darum? EDIT: Kleiner Blackout meinerseits - es geht doch, mit folgendem Ansatz: Es sei $\begin{eqnarray} X_i = \begin{cases} 1 &\; \mbox{falls Kugel Nr. $i$ in den $m$ Versuchen wenigstens einmal gezogen wurde} \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ und dann ist $\begin{eqnarray} M = \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray}$ die zufällige Anzahl der verschiedenen gezogenen Kugeln. Deren Erwartungswert ist dann $\begin{eqnarray} E(M) = \sum_{i=1}^nE(X_i) = nE(X_1) = nP(X_1=1) = n\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^m\right) \end{eqnarray}$ .

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