Stetigkeit einer beschränkten Funktion

13.12.2012, 13:38

Beschränkt

Stetigkeit einer beschränkten Funktion

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine für $\begin{eqnarray*} f(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ beschränkte Funktion, dann ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g : \mathbb R \to \mathbb R, \quad g(x) = x f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Meine Ideen:
Ich verstehe die Aufgabe nicht, wenn $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch sowieso der ganze Ausdruck 0. In welche Richtung muss ich hier gehen? Mir fehlt da jeglicher Ansatz.

13.12.2012, 14:32

bakurt

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13.12.2012, 15:03

RavenOnJ

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RE: Stetigkeit einer beschränkten Funktion

Zitat:

Original von Beschränkt

Ich verstehe die Aufgabe nicht, wenn $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch sowieso der ganze Ausdruck 0.

Es geht um eine Umgebung des Punktes $\begin{align*} x_0 =0 \end{align*}$ und da ist $\begin{align*} x\ne 0 \end{align*}$ , außer am Punkt $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ .

13.12.2012, 17:25

Beschränkt

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Sehr gerne versuche ich das, jedoch scheitere ich einfach bei Verständnis für das, was da genau passiert. Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \left|x - x_0\right| = \left|x - 0\right| = \left|x\right| < \delta \quad \Rightarrow \quad \left|g(x) - g(x_0)\right| = \left|x f(x) - x_0 f(x_0)\right| = \left|x f(x) - 0\right| = \left|x f(x)\right| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} 0 \le x < \epsilon \left|\frac{1}{f(x)}\right| \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt davon auf $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ schließen?

13.12.2012, 17:58

RavenOnJ

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Du hast die Beschränkheit von $\begin{align*} f \end{align*}$ noch nicht ins Spiel gebracht. Außerdem lass dieses ' $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ ' weg, das hat da nichts zu suchen.

Du musst jetzt zeigen, dass man für jedes $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ ein $\begin{align*} \delta \end{align*}$ finden kannst, sodass für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} |x - 0| = |x| < \delta \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} |g(x) -g(0)| = |g(x)| < \epsilon \end{align*}$

An der Stelle muss man dann die Beschränktheit von $\begin{align*} f \end{align*}$ reinbringen.

14.12.2012, 00:09

Beschränk

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Ist es nicht logisch, dass $\begin{eqnarray*} g(x) = x f(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist? Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ "skaliert" doch sozusagen nur die Beschränkung ...

14.12.2012, 00:53

RavenOnJ

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Vieles erscheint "logisch", ist es aber nicht. Hier liegst du vielleicht intuitiv richtig, musst das aber mathematisch stringent begründen. Mit einer guten Abschätzung geht das.

14.12.2012, 10:02

Beschränkt

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Wie genau kann ich es denn hier "gut abschätzen"? Ich tue mir mit solchen allgemeinen beweisen, ohne konkrete Werte, immer etwas schwer.

14.12.2012, 13:17

RavenOnJ

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Wenn eine Folge oder Funktion beschränkt ist, dann gibt es für den Betrag davon eine obere Schranke. D.h. man kann schreiben
$\begin{eqnarray*} |f(x)| \le M \end{eqnarray*}$

mit M als einer von x unabhängigen oberen Schranke. Damit könnte man z.B. arbeiten.

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