Zufallsgröße

13.12.2012, 15:18	Rambo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsgröße Meine Frage: Die Aufgabe ist angehängt. Meine Ideen: Mir ist klar, dass der zweite Faktor schneller gegen 0 konvergieren muss als x gegen unendlich. Aber wie zeige ich das? Es scheint, als könnte man dazu vllt die Markow-Ungleichung ausnützen, aber ich kann im moment nichts sinvolles damit erreichen. Ich freue mich über eure Hilfestellungen.
13.12.2012, 15:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Markov-Ungleichung allein reicht anscheinend nicht aus, wohl aber kann die dabei verwendete Beweistechnik helfen: Die Existenz des Erwartungswertes $\begin{eqnarray} E(X) \end{eqnarray}$ impliziert die Existenz von $\begin{eqnarray} E\|X\| \end{eqnarray}$ - mit anderen Worten: $\begin{eqnarray} g(x) := \int\limits_{\|X\| < x} \|X\| ~ \dd P \end{eqnarray}$ konvergiert für $\begin{eqnarray} x\to\infty \end{eqnarray}$ gegen einen endlichen Wert (eben jenes $\begin{eqnarray} E\|X\| \end{eqnarray}$ ). Das bedeutet dann aber durch Differenzbildung $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \int\limits_{\|X\| \geq x} \|X\| ~ \dd P = 0 \end{eqnarray}$ . Zusammen mit der Monotonieabschätzung $\begin{eqnarray} \int\limits_{\|X\| \geq x} \|X\| ~ \dd P \geq \int\limits_{\|X\| \geq x} x ~ \dd P = xP(\|X\|\geq x) \end{eqnarray}$ (wie sie ja auch im Beweis der Markov-Ungleichung stattfindest) sollte dann alles klar sein.
13.12.2012, 15:57	Rambo	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ausführliche Antwort. Zusammen mit Wikipedia kann ich deine Argumentation nachvollziehen, jedoch kam bisher in der Vorlesung nur eine Summendarstellung des Erwartungswertes vor, derart zB : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{x\in \mathbb X} xP(X=x) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mathbb X \end{eqnarray}$ eine abzählbare Teilmenge des Wertebereichs von X.
13.12.2012, 16:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aja, dass hatte ich überlesen, dass das nur für diskrete Zufallsgrößen bewiesen werden soll - der Beweis oben gilt für alle Zufallsgrößen, setzt aber maßtheoretische Grundkenntnisse voraus. Für diskrete Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit höchstens abzählbaren Wertebereich $\begin{eqnarray} \mathbb{X} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ ist dann "übersetzt" $\begin{eqnarray} \int\limits_{\|X\|< x} \|X\| ~ \dd P = \sum\limits_{x\in \mathbb{X}\cap (-x,x)} \|x\|P(X=x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int\limits_{\|X\|\geq x} \|X\| ~ \dd P = \sum\limits_{x\in \mathbb{X}\setminus (-x,x)} \|x\|P(X=x) \end{eqnarray}$ usw. zu schreiben...
13.12.2012, 19:57	Rambo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe zwar Integrations- und Maßtheorie, aber man darf leider nie etwas vorlesungsfremdes benutzen. Vielen Danke für die Hilfe

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