Unterraum mit Parameter

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13.12.2012, 17:06	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum mit Parameter Hallo, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe: [attach]27285[/attach] Bei $\begin{eqnarray} (i)~\vec{0} \in U \end{eqnarray}$ bin ich mir noch recht sicher, das ist ja offensichtlich (b=7). Jedoch bin ich mir bei $\begin{eqnarray} (ii)~\forall~\vec{u},\vec{v}\in U,~\vec{u}+\vec{v} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (iii)~\forall~\vec{u}\in U,~\forall~\lambda\in\mathbb{R},~\lambda\cdot\vec{u}\in U \end{eqnarray}$ überhaupt nicht sicher, wenn das auch wäre, dann wäre das doch viel zu einfach!? Ich hoffe es kann mir jemand einen Tipp geben! Vielen Dank!!!
13.12.2012, 18:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist für $\begin{eqnarray} \lambda=5 \end{eqnarray}$ auch immer $\begin{eqnarray} \lambda \cdot a xy = axy \end{eqnarray}$ ? Das glaube ich nicht. Jedenfalls nicht für $\begin{eqnarray} 5 \ne 0 \end{eqnarray}$
13.12.2012, 18:29	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist nicht ganz klar, was du meinst. Ich habe doch glaube ich nirgendswo geschrieben das $\begin{eqnarray} \lambda\cdot axy = axy \end{eqnarray}$ ist oder steh ich grad auf dem Schlauch?
13.12.2012, 18:40	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, da ist glaub nen Fehler in meiner Denkweise.. Lieber so? $\begin{eqnarray} 3(\lambda x)+4(\lambda y)+a(\lambda^2 xy)+8(\lambda z)+b-7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lambda(3x)+\lambda(4y)\lambda(3x)+\lambda(4y)+\lambda(\lambda axy)+\lambda(8z)+b-7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lambda(3x)+\lambda(4y)\lambda(3x)+\lambda(4y)+\lambda(\lambda axy)+\lambda(8z)+b-7 \end{eqnarray}$ (iii) erfüllt wenn $\begin{eqnarray} a=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ Kann das so stimmen? $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ müsste ja dann auch irgendwie $\begin{eqnarray} \not= 0 \end{eqnarray}$ sein, weil man nicht durch 0 teilen darf, bin etwas verwirrt... edit von sulo: Zeilenumbruch für die bessere Lesbarkeit des Threads eingefügt.
14.12.2012, 14:14	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Sonst hat keiner mehr ne Idee? Dann würde ich das so lassen. Vielen Dank!
14.12.2012, 18:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du nicht so stehen lassen. Das muss FÜR ALLE $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ gelten (das steht in deinem ersten Beitrag unter (iii) ! ) , nicht nur für $\begin{eqnarray} \lambda = \frac 1 a \end{eqnarray}$ . Du brauchst dringend eine Bedingung für a, damit das klappt.
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14.12.2012, 18:15	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu (iii) 1) $\begin{eqnarray} \lambda=0 \end{eqnarray}$ : wenn $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} \lambda \cdot \vec{u}\in U \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \lambda\not=0 \end{eqnarray}$ : wenn $\begin{eqnarray} a=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} \lambda \cdot \vec{u}\in U \end{eqnarray}$ Daraus folgt: U ist ein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ wenn: 1) $\begin{eqnarray} \lambda=0 \end{eqnarray}$ : wenn $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \lambda\not=0 \end{eqnarray}$ : wenn $\begin{eqnarray} a=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ So? Vielen Dank!
14.12.2012, 18:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht so, sondern anders. Du darfst keine Bedingung an $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ stellen, wenn $\begin{eqnarray} \forall \lambda : \lambda \cdot \vec u \in U \end{eqnarray}$ gelten soll. Du darfst Bedingungen an a stellen, genau so wie du es mit b gemacht hast.
14.12.2012, 18:25	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay nochmal: Zu (iii) 1) $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} \lambda \cdot \vec{u}\in U \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} a\not=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ : dann muss $\begin{eqnarray} \lambda=\frac{1}{a} \end{eqnarray}$ , sein, dann $\begin{eqnarray} \lambda \cdot \vec{u}\in U \end{eqnarray}$ Daraus folgt: U ist ein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ wenn: 1) $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} a\not=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ : dann muss $\begin{eqnarray} \lambda=\frac{1}{a} \end{eqnarray}$ sein Mh, das ist echt nicht meine Aufgabe... Vielen Dank! //EDIT: Ob man die 2. Bedingung dann überhaupt braucht, weiß ich nicht genau. Es muss ja für alle $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ gelten.
14.12.2012, 18:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Na also. a=0 und b=7. Sonst ist U kein Untervektorraum !
14.12.2012, 18:37	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu Zu (iii): $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} \lambda \cdot \vec{u}\in U \end{eqnarray}$ Daraus folgt: U ist ein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ wenn: $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=7 \end{eqnarray}$ Aber für $\begin{eqnarray} a=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ wäre es doch auch ein Unterraum, oder nicht? Bzw. es würde zumindestens (iii) gelten. Danke dir! P.S.: Zum Glück ist das die letzte Aufgabe zu diesem Thema
14.12.2012, 18:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein nein nein. wenn $\begin{eqnarray} \lambda=1,2,3,4,5,... \end{eqnarray}$ ist wäre $\begin{eqnarray} a=\frac 1 \lambda =1, \frac 1 2 , \frac 1 3, \frac 1 4, \frac 1 5, ... \end{eqnarray}$ . Seit wann kann denn eine Konstante a, eine feste Zahl a, beliebig viele Werte annehmen ? 1=10=100=... na dann : ich gebe dir einen Euro, du gibst mir 1000
14.12.2012, 18:46	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh da hast du auch wieder Recht! D.h. also $\begin{eqnarray} \lambda(3x+4y+\lambda axy+8z) \end{eqnarray}$ wird nur 0 wenn a=0, sehe ich das richtig? Daraus folgt dann, dass b=7 sein muss, damit $\begin{eqnarray} \lambda \cdot \vec{u} \in U \end{eqnarray}$ also ist U nur ein Unterraum wenn a=0 und b=7. Ich hoffe jetzt hab ichs richtig verstanden? Vielen Dank, für deine Hilfe!
14.12.2012, 18:52	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber eine Frage hätte ich noch... Muss das dann nicht auch a=0 für die Addition also (ii) gelten?
14.12.2012, 19:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch mal von vorn (b=7 wissen wir schon): $\begin{eqnarray} \lambda u \in U \Leftrightarrow 3\lambda x+4\lambda y+ a\lambda x\lambda y+8\lambda z=0\Leftrightarrow \lambda( 3x+4 y+ a\lambda x y+8 z)=0 \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \lambda =0 \end{eqnarray}$ gilt das ganz sicher, sei also $\begin{eqnarray} \lambda \ne 0 \end{eqnarray}$ , dann teilen wir durch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \lambda u \in U \Leftrightarrow 3x+4 y+ a\lambda x y+8 z=0 \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} a\lambda xy = a xy \end{eqnarray}$ wäre das genau die Gleichung für U, deshalb habe ich eingangs gefragt, wieso das immer so sein soll. Das ist NICHT immer so, nur für a=0 ist das so. Anmerkung zu Deiner letzten Frage: Nein, die Addition klappt für jedes a.
14.12.2012, 19:11	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, dass $\begin{eqnarray} \lambda=0 \end{eqnarray}$ klappt ist anscheinend so offensichtlich, dass wir das in der Uni nicht aufschreiben sondern einfach durch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ teilen.
14.12.2012, 19:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und bitte immer bei einer Division durch eine Variable hinschreiben, dass die Variable von 0 verschieden ist.
14.12.2012, 19:15	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, wir teilen garnicht durch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ sehe ich grad sondern lassen das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ einfach stehen.
14.12.2012, 19:19	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah jetzt hab ichs kapiert! Vielen Dank, für deine Bemühungen!

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