Rang von multiplizierten Matrizen bestimmen

13.12.2012, 17:35

Mr. Swagger

Rang von multiplizierten Matrizen bestimmen

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R^{n,1} (n\in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} Rang(ba^{T}) \end{eqnarray*}$ !

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} a^{T} \end{eqnarray*}$ müsste eine 1xn Matrix sein, demzufolge ist $\begin{eqnarray*} ba^{T} \end{eqnarray*}$ eine nxn Matrix, aber wie bestimme ich den Rang? Meiner Meinung nach ist von 0 bis n alles möglich... Ich weiß doch nichts genaueres über a und b.
Bitte helft mir unglücklich

13.12.2012, 19:23

EinGast

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RE: Rang von multiplizierten Matrizen bestimmen
setzen wir

$\begin{eqnarray*} a=\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\a_n\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\b_n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie sieht dann $\begin{eqnarray*} ba^T \end{eqnarray*}$ aus?

13.12.2012, 19:39

Mr. Swagger

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Muss ich das wirklich ausschreiben... Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_1a_1 & b_1a_2 & ... & b_1a_n \\ b_2a_1 & b_2a_2 & ... & b_2a_n \\ ... & ... & ... & ... \\ b_na_1 & b_na_2 & ... & b_na_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.12.2012, 19:43

EinGast

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ok, und nun kannst du den Rang davon direkt mit der Definition bestimmen (der Rang einer Matrix ist ja die maximale Anzahl von linear unabhängigen Zeilen/Spalten...)

13.12.2012, 19:56

Mr. Swagger

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Also einfach nur n??
Was wenn eine Zeile 0 ergibt bzw. linear abhängig ist?

13.12.2012, 20:01

EinGast

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nein. Die Zeilenvektoren der Matrix sind $\begin{eqnarray*} b_1a, b_2a,\dots,b_na \end{eqnarray*}$ , und wieviele davon sind maximal l.u.? (Die Antwort hängt von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ab - was passiert wenn $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ ?)

13.12.2012, 20:10

Mr. Swagger

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dann ist die ganze Zeile 0.. Ich muss nochmal nachdenken (muss für 2 Stunden weg, nicht denken ich würde mich nicht mehr für die Frage interessieren Big Laugh

)

13.12.2012, 21:29

Mr. Swagger

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Kann das sein, dass alle Zeilen zueinander linear abhängig sind? z.B. wenn man die erste Zeile mit $\begin{eqnarray*} \frac{b_{2} }{b_1} \end{eqnarray*}$ multipliziert, kommt man auf die zweite. D.h. solange a und b keine 0 Matrizen sind, ist der Rang 1...(?)

13.12.2012, 22:27

EinGast

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Zitat:

Original von Mr. Swagger
Kann das sein, dass alle Zeilen zueinander linear abhängig sind? z.B. wenn man die erste Zeile mit $\begin{eqnarray*} \frac{b_{2} }{b_1} \end{eqnarray*}$ multipliziert, kommt man auf die zweite.

ja, falls $\begin{eqnarray*} b_1\neq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

D.h. solange a und b keine 0 Matrizen sind, ist der Rang 1...(?)

richtig! Und was ist der Rang, wenn $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ ?

14.12.2012, 00:14

Mr. Swagger

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Dann ist der Rang 0! ;D
Danke für die Hilfe man^^

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