Norm unendlich?

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13.12.2012, 17:42	trixi88	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm unendlich? Meine Frage: Kann eine Norm eigentlich den Wert Unendlich annehmen? Meine Ideen: Ich hab es mal so und mal so gehört.
13.12.2012, 17:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Norm unendlich? Nein, eine Norm bildet nur nach $\begin{eqnarray} [0,\infty) \end{eqnarray}$ ab. Alles andere kann keine Norm im eigentlichen Sinne sein.
13.12.2012, 17:46	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Norm unendlich? Ich würde sagen, nein. Jedenfalls nicht von komplexen Zahlen. Bei $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ würde ich sagen, dass es unentscheidbar ist.
13.12.2012, 17:51	Trixi88	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Norm unendlich? Ich verstehe nicht, wieso man dann den Satz von Banach Steinhaus braucht... Da heißt es, dass für $\begin{eqnarray} T_n\in L(X,Y) \end{eqnarray}$ gilt: Falls $\begin{eqnarray} \sup\limits_{n}\lVert T_n x\rVert <\infty~\forall~x\in X \end{eqnarray}$ , dann auch $\begin{eqnarray} \sup\limits_{n}\lVert T_n\rVert <\infty \end{eqnarray}$ . Aber wie kann denn $\begin{eqnarray} \sup\limits_{n}\lVert T_n x\rVert \end{eqnarray}$ denn überhaupt NICHT kleiner unendlich sein, wenn doch die Norm nicht den Wert unendlich annehmen kann??
13.12.2012, 17:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Norm unendlich? Es kann ja passieren, dass die Normen der $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ immer größer werden. Z.B. besteht die Zahlenfolge $\begin{eqnarray} (n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ auch nur aus endlichen Zahlen, ist aber unbeschränkt, d.h. $\begin{eqnarray} \sup_{n\in\mathbb N}n=\infty \end{eqnarray}$ .
13.12.2012, 17:58	Trixi88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, danke. Das macht Sinn. Noch eine andere elementare Frage: Wenn man jetzt eine Folge $\begin{eqnarray} (T_n) \end{eqnarray}$ von Operatoren $\begin{eqnarray} T_n\in L(X,Y) \end{eqnarray}$ zwischen Banachräumen X und Y hat und weiß, dass $\begin{eqnarray} T_n(x), n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ konvergiert, weiß man dann, dass $\begin{eqnarray} \sup\limits_{n}\lVert T_n x\rVert <\infty \end{eqnarray}$ ? Und wenn ja, wieso?
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13.12.2012, 18:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das weiß man. Konvergente Folgen sind grundsätzlich beschränkt
13.12.2012, 18:03	Trixi88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Folge ist konvergent, aber woher weiß man denn dann das mit dem Supremum der Norm? Was heißt denn, dass die Folge beschränkt ist, heißt das $\begin{eqnarray} \lVert T_nx\rVert\leq M \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} M\geq 0 \end{eqnarray}$ , wobei die Norm in Y gemeint ist?
13.12.2012, 18:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} T_nx \end{eqnarray}$ ist ja eine Folge in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Wenn die gegen ein $\begin{eqnarray} y\in Y \end{eqnarray}$ konvergeiren soll, dann ist z.B. $\begin{eqnarray} \lVert T_nx\rVert\leq\lVert T_nx-y\rVert+\lVert y\rVert\leq1+\lVert y\rVert \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Damit hat man eine obere Schranke für fast alle Normen der Folge. Den Rest kannst du dir überlegen.
13.12.2012, 18:29	Trixi88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe Folgendes noch nicht: Die Folge $\begin{eqnarray} (T_nx) \end{eqnarray}$ konvergiert also. Deswegen ist die beschränkt. Das heißt nach MEINEM Verständnis $\begin{eqnarray} T_n x\leq M \end{eqnarray}$ . Wieso kann man dann schließen, dass $\begin{eqnarray} \sup\limits_{n}\lVert T_nx\rVert <\infty \end{eqnarray}$ ? Sorry, ich kapiers nicht.
13.12.2012, 18:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt ein $\begin{eqnarray} M\geq0 \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ die Abschätzung $\begin{eqnarray} \lVert T_nx\rVert\leq M \end{eqnarray}$ gilt. Dann ist natürlich auch das Supremum kleiner gleich $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ .

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