Logik Graphentheorie

13.12.2012, 19:41

ssseekkaer

Logik Graphentheorie

hi,

ich habe hier im gleichen Buch 2 Aussagen kurz hintereinander stehen. Können diese überhaupt nebeneinander existieren? Ich denke eigentlich nicht Augenzwinkern

Nummer1#
Let $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ be the largest eigenvalue of a graph. Then a graph is bipartite if and only if $\begin{eqnarray*} -r \end{eqnarray*}$ is also an eigenvalue.

Nummer2# spectrum=(Multimenge von Eigenwerten)
A graph is bipartite if and only if the spectrum is symmetric around $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , that is, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ is an eigenvalue if and only if $\begin{eqnarray*} -\lambda \end{eqnarray*}$ is an eigenvalue.

Man hat hier ja beide Male eine "genau dann wenn"- Beziehung und die Nummer#1 ist doch stärker als die #2. Was denkt ihr? THX

13.12.2012, 19:59

weisbrot

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RE: logik graphentheorie
vom eigendlichen thema hab ich nicht soviel ahnung, aber in der ersten aussage wird noch vorausgesetzt dass es einen größten eigenwert gibt (bzw. das ist relativ unklar).. vllt macht das einen unterschied?
aber vllt ist es eher so: offenbar inpliziert die eine aussage die andere (weswegen du meinst sie sei stärker), aber das gilt auch umgekehrt und ist einfach nicht so trivial..
könnte das sein?
lg

13.12.2012, 23:29

ssseekkaer

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RE: logik graphentheorie
hm, ich denke eigentlich ein größter EW existiert hier immer. Kanns aber nicht begründen .. Big Laugh

EW sind für Graphen jedoch immer reell. Vielleicht muss der zugrunde gelegte Körper algebraisch abgeschlossen sein verwirrt

?

Mit dem stärker meinte ich, dass wenn die Bedingung aus Nummer 2 gilt, dann gilt die aus #1 ja sowieso. Umgekehrt allerdings nicht. Deshalb war ich der Meinung da kann doch was nicht stimmen.

Was ist denn wenn nur für den größen EW $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ auch eine EW $\begin{eqnarray*} -r \end{eqnarray*}$ existiert , aber für einen anderen EW $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} -r_2 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist nach Nummer 1 der Graph bipartit und nach Nummer 2 nicht.
Irgendwas stimmt doch da nicht oder das hat wirklich was mit der Existenz des größten EW zu tun verwirrt

13.12.2012, 23:37

ssseekkaer

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RE: logik graphentheorie
Achso , du meinst mit dem "nicht so trivial" , dass der von mir geschilderte Fall gar nicht eintreten kann. Ja darüber hab ich mir auch Gedanken gemacht.
Das könnte sein . hm

14.12.2012, 17:13

weisbrot

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RE: logik graphentheorie

Zitat:

Mit dem stärker meinte ich, dass wenn die Bedingung aus Nummer 2 gilt, dann gilt die aus #1 ja sowieso. Umgekehrt allerdings nicht. Deshalb war ich der Meinung da kann doch was nicht stimmen.

ich weiß was du damit meinst, ich meine du täuschst dich vielleicht und es gilt auch die weniger offensichtliche andere implikation (also wenn mit dem größten ew r auch -r ew ist, dann folgt damit schon dassauch für jeden anderen eigenwert e auch -e eigenwert ist) - das sollte zumindest so sein, denn sonst gilt ja wie du sagst diese äquivalenz nicht.

Zitat:

Achso , du meinst mit dem "nicht so trivial" , dass der von mir geschilderte Fall gar nicht eintreten kann. Ja darüber hab ich mir auch Gedanken gemacht. Das könnte sein . hm

achso, ja genau das meine ich.
lg

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